Warmtekapasiteit

Warmtekapasiteit(word gewoonlik aangedui met 'n hoofletterC,dikwels met onderskrifte) is 'n meetbare fisiese hoeveelheid wat die vermoë van 'n liggaam om warmte op te gaar met veranderende temperatuur kenmerk. Dit word gedefinieer as die tempo waarteen die temperatuur verander met byvoeging van hitte teen die gegewe toestande waarin die liggaam verkeer (veral dietemperatuurdaarvan). Volgens dieSI-stelsel word warmtekapasiteit uitgedruk in eenhede vanjouleperkelvin.

Dit word 'nekstensiewe grootheidgenoem omdat dit sensitief is ten opsigte van die grootte/hoeveelheid van die voorwerp/stof ('n bad vol water het 'n groter warmtekapasiteit as 'n koppie water). Deur die warmtekapasiteit met die liggaam semassate deel word die soortlike warmtekapasitiet (soms ook spesifieke warmtekapasiteit genoem) verkry, wat 'nintensiewe grootheidis, wat beteken dat die hoeveelheid nie meer afhanklik is van die hoeveelheid materiaal nie en meer afhanklik is van die soort materiaal asook die fisiese toestande tydens die verhittingsproses.

Definisie

Warmtekapasiteit word wiskundig gedefinieer as die verhouding van 'n klein hoeveelheid hitteδQwat by 'n liggaam gevoeg word en die ooreenstemmende klein verandering in die temperatuurdTdaarvan:

$C=\left({\frac {\delta Q}{dT}}\right)_{toest.}=T\left({\frac {dS}{dT}}\right)_{toest.}$

Die regterkantste uitdrukking is afgelei vanuit die definisie vanentropie(S)

Virtermodinamiese stelselsmet meer as een fisiese dimensie, gee die bostaande definisie nie 'n eenduidige, unieke hoeveelheid nie tensy 'n besondere infinitesimale pad deur die stelsel se faseruimte gedefinieer is (dit beteken dat 'n mens ten alle tye moet weet waar al die dele van die stelsel hul bevind, hoeveel massa hulle bevat en hoe vinnig hulle beweeg).

Hierdie inligting word dan gebruik om die verskillende maniere waarop warmte askinetiese energie(bewegingsenergie) en potensiële energie (energie wat in kragvelde gestoor word) gestoor kan word te verklaar soos die liggaam uitsit of krimp. Vir alle werklike stelsels moet die pad deur hierdie veranderinge eksplisiet gedefinieer word, aangesien die waarde van warmtekapasiteitafhang van die padwat gevolg is vanaf die een temperatuur na die ander te beweeg. Van besondere belang in hierdie verband is die waardes van warmtekapasiteit waar die verandering by konstantevolumeplaasvind,C_V,en waar die verandering by konstantedruk,C_P,plaasvind soos later in die artikel verduidelik word.

Warmtekapasiteit van saampersbare liggame

Die toestand van 'n eenvoudige saampersbare liggaam met 'n vaste massa word beskryf deur twee termodinamiese parameters naamlik temperatuurTen drukP,wat 'n mens in staat stel om te onderskei tussenwarmtekapasiteit teen konstante volume,$C_{V}$enwarmtekapasiteit teen konstante druk,$C_{P}$soos in bogenoemde paragraaf bespreek:

$C_{V}=\left({\frac {\delta Q}{dT}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}$

$C_{P}=\left({\frac {\delta Q}{dT}}\right)_{P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}$

waar$\delta Q$is die infinitesimale hoeveelheid warmte wat bygevoeg word en waar$dT$die ooreenstemmende styging in temperatuur is.

Die inkrement interne energie is die warmte en die werk wat bygevoeg word:

$dU=T\,dS-P\,dV$

Dus is die warmtekapasiteit by konstante volume (aangesien tweede term in vergelyking hierbo nul is)

$C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$

Dieentalpieword gedefinieer deur$H=U+PV$.Die inkrement entalpie is

$dH=dU+(PdV+VdP)\!$wat deur vervanging van die vergelyking vir$dU$hierbo vereenvoudig na:

$dH=T\,dS+V\,dP$

En aangesien die tweede term hierbo gelyk is aan nul by konstante druk is die warmtekapasiteit by konstante druk gelyk aan

$C_{P}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}$

Laasgenoemdedefinisieis ietwat oorbodig aangesien die begripentalpieop sigselfuitgevindis om 'n mate te wees van die warmte wat geabsorbeer of vrygestel word by konstante drukke (die toestande waarteen chemici gewoonlik werk). As sulks verteenwoordig dieentalpiedie ekstra warmte wat geproduseer of geabsorbeer word deur druk-volume werk by 'n konstante druk. Dit is dus geensins 'n verrassing dat konstante druk warmtekapasiteite in terme van entalpie uitgedruk word nie, aangesienentalpiein die eerste plek sodanig gedefinieer is.

Spesifieke warmtekapasiteit

Diespesifieke warmtekapasiteit(meer akkuraat die massa-spesifieke warmtekapasiteit is)

$c={\partial C \over \partial m}$

wat in die afwesigheid van fase-oorgange gelyk is aan

$c=c_{m}={C \over m}={C \over {\rho V}}$-- aangesien$({\rho }={m \over V})$

• Cis die warmtekapasiteit van 'n liggaam wat bestaan uit die betrokke materiaal (J·K⁻¹)
• mis die massa van die liggaam (kg)
• Vis die volume van die liggaam (m³)
• ρ =mV⁻¹is die digtheid van die materiaal (kg·m⁻³)

Vir gasse, asook vir ander materiale wat aan hoë drukke onderwerp word, bestaan daar 'n behoefte om te onderskei tussen die grenstoestande vir die prosesse onder oorweging (aangesien die waardes betekenisvol kan verskil tussen verskillende toestande). Tipiese prosesse waarvoor warmtekapasiteit gedefinieer kan word sluit inisobariese-(konstante druk, d$P=0$) enisokoriese(konstante volume, d$V=0$) prosesse wat per konvensie vir gasse geskryf word:

$c_{P}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{P}$

$c_{V}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}$

Eenhede hier vertoon isSI-eenhede.

'n Verwante parameter aan$c$isCV^-1,die volumetriese warmtekapasiteit, (J·m^-3·K^-1in SI-eenhede). In ingenieurswese word$c_{V}$dikwels gebruik om die volumetriese warmtekapasiteit vir vaste- en vloeistowwe aan te dui, eerder as 'n konstante volume warmtekapasiteit. In sulke gevalle word die massa-spesifieke warmtekapasiteit duidelik aangedui met die onderskrifmas$c_{m}$.Vanuit die bostaande verhouding kan 'n mens dan natuurlik vir vastestowwe skryf:

$c_{m}={C \over m}={c_{V} \over {\rho }}$

Dimensielose warmtekapasiteit

Diedimensielosie warmtekapasiteitvan 'n materiaal is

$C^{*}={C \over nR}={C \over {Nk}}$

waar

• Cdie warmtekapasiteit van 'n liggaam bestaande uit die betrokke materiaal is (J·K⁻¹)
• ndie hoeveelheid materie in die liggaam is (mol)
• Rdie gaskonstante (J·K⁻¹·mol⁻¹) is
• nR=Nkdie hoeveelheid materie in die liggaam is (J·K⁻¹)
• Ndie aantal molekules in die liggaam is (dimensieloos)
• kdiekonstante van Boltzmannis (J·K⁻¹·molekule⁻¹)

SI-eenhede

Die SI-eenheid vir warmtekapasiteit is joules per kelvin (simbool: J·K^-1) en virspesifieke warmtekapasiteitis joule per kilogram-kelvin (simbool: J·kg^-1·K^-1). Tipiese waarde van J·kg^-1·K^-1teen kamer warmte in lugdruk is:

Stof	Waarde (J·kg-1·K-1)
Aluminium	900
Goud	129
Graniet	840
Glas	840
Yster	444
Staal	450
Ys(0C)	2090
Water	4186
Etiel alkohol	2450
Kwik	140
Lug	1020
Waterstof	14267
Helium	5300
Stoom(100C)	1520

Volgens die teorie van dieideale gaswetis die waarde van die algemene gaskonstanteRvan droë lug 287,058 J·kg^-1·K^-1.

Voorbeelde

Verkoeling van gasmengsel

'n Mengsel van 30% CO, 60% CO₂en 10% H₂O word verkoel van 800 °K (~527 °C) na 400 °K (~127 °C) by 'n absolute druk van 85 kPa(a) en 'n vloei van 0.04 kmol/h. Hoeveel is die hitteverlies?

Antwoord:

Die warmtekapasiteite van die individuele strome uit Perry's Chemical Engineers' Handbook, Volume 6, bl 3-130, is:

$C_{p,CO}=6.6+0.0012T\qquad kal/mol\qquad (T\ in\ Kelvin)$

$C_{p,CO2}=10.34+0.00274T-{\frac {195500}{T^{2}}}\qquad kal/mol\ (T\ in\ Kelvin)$

$C_{p,H2O(g)}=8.22+0.00015T+1.34\times 10^{-6}T^{2}\qquad kal/mol\ (T\ in\ Kelvin)$

Die warmtekapasiteit van die mengsel is nou:

$C_{p,mengsel}=0.3C_{p,CO}+0.6C_{p,CO2}+0.1C_{p,H2O(g)}=9.01+0.00202T+1.34\times 10^{-7}T^{2}-{\frac {117300}{T^{2}}}\qquad (T\ in\ Kelvin)$

Om die hitteverlies te bepaal, moet hierdie vergelyking nougeïntegreerword:

$Q=\int _{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}\,dT$

$Q=\int _{800}^{400}9.01+0.00202T+1.34\times 10^{-7}T^{2}-{\frac {117300}{T^{2}}}\,dT$

$=\left|9.01T+{\frac {0.00202}{2}}T^{2}+{\frac {1.34\times 10^{-7}}{3}}T^{3}-{\frac {117300}{-1}}T^{-1}\right|_{800}^{400}$

$=9.01(400-800)+{\frac {0.00202}{2}}(400^{2}-800^{2})+{\frac {1.34\times 10^{-7}}{3}}(400^{3}-800^{3})-{\frac {117300}{-1}}({\frac {1}{400}}-{\frac {1}{800}})$

$=-3962\ {\frac {kal}{mol}}\times 4.1868\ {\frac {J}{kal}}\times 0.04\ {\frac {kmol}{h}}=-664\ \ kJ/h$

Bepaal mengsel se temperatuur

Indien verskillende strome met bekende temperatuur bymekaargevoeg word, kan die temperatuur van die mengsel bereken word deur 'n energiebalans van die verskillende strome:

$\sum m_{i}C_{p,i}T_{i}=(\sum m_{i})C_{p,tot}T_{tot}=m_{tot}C_{p,tot}T_{tot}$

'n Mengsel bestaan uit 55 t/h stoom @ 400 °C (673 K) wat gemeng word met 10 km³_n/h suurstof @ 100 °C (373K). Wat is die mengsel se temperatuur?

Antwoord:

Stoomvloei: m_stm= 55 t/h × (1000 kg/t) / (18 kmg/kmol)= 3056 kmol/h

Suurstofvloei: m_O2= 10 km³_n/h × (1000 m³_n/km³_n) / (22.413m³_n/kmol) = 446.2 kmol/h (Volgens dieideale gaswet)

Totale vloei van mengsel: m_mengsel= 3056 + 446 = 3502 kmol/h

Molfraksie van stoom: X_stm= 3056/3502 = 87.3%

Molfraksie van suurstof: X_O2= 446/3502 = 12.7%

Warmtekapasiteite volgens Perry's Chemical Engineering Handbook, Volume 6, 3-132:

$C_{p,stm}=8.22+0.00015T-{\frac {1.34\times 10^{-6}}{T^{2}}}\qquad [kal/mol\ (T\ in\ Kelvin)]$

$C_{p,O2}=8.27+0.000258T-{\frac {187700}{T^{2}}}\qquad [kal/mol\ (T\ in\ Kelvin)]$

$C_{p,mengsel}=X_{stm}.C_{p,stm}+X_{O2}.C_{p,O2}=8.226+0.0001637T+1.170\times 10^{-6}T^{2}-{\frac {23838}{T^{2}}}\qquad [kal/mol\ (T\ in\ Kelvin)]$

Volgens 'n energiebalans is die entalpie van die inkomende strome gelyk aan die entalpie van die mengsel:

$H_{stm}+H_{O2}=H_{mengsel}$

Werk nou die entalpie van elke stroom uit deur gebruik te maak van die warmtekapasiteit (gebruik 0 °C as verwysing):

Entalpie van stoom:

$H_{stm}=\int _{273}^{673}C_{p,stm}\,dT$

$=m_{stm}\int _{273}^{673}8.22+0.00015T+1.34\times 10^{-6}T^{2}\,dT$

$=3056\times \left|8.22T+{\frac {0.00015}{2}}T^{2}+{\frac {1.34\times 10^{-6}}{3}}T^{3}\right|_{273}^{673}$

$=3056\times \left(8.22(673-273)+{\frac {0.00015}{2}}(673^{2}-273^{2})+{\frac {1.34\times 10^{-6}}{3}}(673^{3}-273^{3})\right)$

=… kkal

Entalpie van suurstof:

$Q=m\int _{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}\,dT$

$H_{O2}=m_{O2}\int _{273}^{373}C_{p,O2}\,dT$

$=\int _{273}^{373}8.27+0.000258T-{\frac {187700}{T^{2}}}\,dT$

$=446.2\times \left|8.27T+{\frac {0.000258}{2}}T^{2}-{\frac {187700}{-1}}T^{-1}\right|_{273}^{373}$

$=446.2\times \left(8.27(373-273)+{\frac {0.000258}{2}}(373^{2}-273^{2})+187700({\frac {1}{373}}-{\frac {1}{273}})\right)$

=… kkal

Entalpie van mengsel:

$H_{mengsel}=m_{mengsel}\int _{273}^{T}C_{p,mengsel}\,dT$

$H_{mengsel}=m_{mengsel}\int _{273}^{T}8.226+0.0001637T+1.170\times 10^{-6}T^{2}-{\frac {23838}{T^{2}}}\,dT$

$=3502\times \left|8.226T+{\frac {0.0001637}{2}}T^{2}+{\frac {1.170\times 10^{-6}}{3}}T^{3}-{\frac {23838}{-1}}T^{-1}\right|_{273}^{T}$

$=3502\times \left(8.226(T-273)+{\frac {0.0001637}{2}}(T^{2}-273^{2})+{\frac {1.170\times 10^{-6}}{3}}(T^{3}-273^{3})-{\frac {23838}{-1}}({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{273}})\right)$

Stel nou$H_{stm}+H_{O2}=H_{mengsel}$en los vir T op.

Sien ook

• Termodinamika
• Spesifieke warmtekapasiteit