División (matemátiques)

En matemática, la división ye una operación parcialmente definida nel conxuntu de los númberos naturales y los númberos enteros; sicasí, nel casu de los númberos racionales, reales y complexos ye siempres posible efectuar la división, esixendo que'l divisor sía distintu de cero, sía cual fora la naturaleza de los númberos a dividir. Nel casu de que sía posible efectuar la división, esta consiste n'esplorar cuántes vegaes un númberu (divisor) ta "conteníu" n'otru númberu (dividendu). La resultancia d'una división recibe'l nome de cociente. De manera xeneral puede dicise que la división ye la operación inversa de la multiplicación, siempres y cuando se realice nun campu.^[1]

Tien de estremase la división «exacta» (suxetu principal d'esti artículu) de la división «con restu» o borrafa (la división euclídea). A diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la división ente númberos enteros nun ta siempres definida; n'efectu: 4 estremáu 2 ye igual a 2 (un númberu enteru), pero 2 ente 4 ye igual a ½ (un mediu), que yá nun ye un númberu enteru. La definición formal de «división» , «divisibilidad» y «conmensurabilidad», va depender depués del conxuntu de definición.

Como cualquier operación, na resultancia d'una división tien que ser únicu, por eso esiste una definición para cociente y restu.

Definición

Conceptualmente, la división describe dos nociones rellacionaes, anque distintes, la de «dixebrar» y la de «partir».^[2]^[3] De manera formal, la división ye una operación binaria qu'a dos númberos acomuña'l productu del primeru pol inversu del segundu. Para un númberu non nulu, la función «división por esi númberu» ye'l recíprocu de «multiplicación por esi númberu».

D'esta miente, el cociente $a$ estremáu $b$ interprétase como'l productu $a$ por ${\tfrac {1}{b}}$ .

Si la división nun ye exacta, esto ye, el divisor nun ta conteníu un númberu exactu de vegaes nel dividendu, la operación va tener un restu o borrafa, onde:

${\rm {dividendu=divisor\times cociente+restu.}}$

Etimoloxía

La palabra deriva del llatín dividere: partir, dixebrar.

Notación

N'álxebra y ciencies, la división se denota xeneralmente a manera de fraición, col dividendu escritu sobro'l divisor. Por casu ${\tfrac {3}{4}}$ lléese: trés dividíu cuatro. Tamién puede emplegase una barra oblicua: $3/4\,$ ; este ye la manera más corriente nos llinguaxes de programación per ordenador, puesto que pue ser fácilmente inscritu como secuencia simple del códigu ASCII.

Propiedaes

La división nun ye puramente dichu una "operación" (esto ye, una llei de composición interna definida por todes les partes), les sos «propiedaes» nun tienen implicaciones estructurales sobro'l conxuntu de númberos, y tienen de ser entendíes dientro del contestu de los númberos fraccionarios.

non-conmutativa, contraexemplu: $5\div 3\neq 3\div 5$ ;
non-asociativa, contraexemplu: $(5\div 3)\div 4\neq 3\div (5\div 4)$
pseudo-elementu neutru a la derecha: 1

{\dfrac {a}{1}}=a

;

pseudo-elementu absorbente a la esquierda: 0

{\mbox{ si }}b\neq 0,{\dfrac {0}{b}}=0

;

fraiciones equivalentes:

{\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{d}}\iff ad=bc\

.

Algoritmos pa la división

Hasta'l sieglu XVI foi bien común l'algoritmu de la división por galera, bien similar a la división llarga y a lo postrero (sustituyíu por ésta como métodu predilectu de división). El procesu avezáu de división (división llarga) suel representase so la diagrama:

		${\rm {Cociente\,}}$
${\rm {Divisor\,}}$		${\rm {Dividendu\,}}$
		${\rm {Restu\,}}$

Tamién s'usa un diagrama equivalente cola llinia debaxo del dividendu:

${\rm {Divisor\,}}$		${\rm {Dividendu\,}}$
${\rm {\,_{(operaciones)}\,}}$		${\rm {Cociente\,}}$
${\rm {Resto\,}}$

Y tamién s'usa otra diagrama equivalente:

${\rm {Dividendu\,}}$		${\rm {Divisor\,}}$
${\rm {\,_{(operaciones)}\,}}$		${\rm {Cociente\,}}$
${\rm {Resto\,}}$

Otru métodu consiste nel usu d'una «tabla elemental», similar a les tables de multiplicar, coles resultancies preestablecidos.

División de númberos

División de númberos naturales

Consideremos el conxuntu ℕ = {0, 1, 2, ...n, ...} de los númberos naturales y sían a,b non nulu, c númberos naturales, vamos dicir que:

$a\div b=c$

si

$a=b\cdot c$

Si ye asina se va dicir que a ye'l dividendu; b, el divisor; y c, el cociente si esiste.^[4]

Sicasí, daos dos númberos naturales a y b ≠ 0, esisten dos únicos númberos naturales q y r tal que se cumplen les relaciones $a=b\cdot q+r,0\leq r<b$ .

L'algoritmu que dexa atopar q y r, conociendo a y b, denomínase división entera, ente otros nomes.^[5]

División de númberos enteros

La división nun ye una operación zarrada, lo cual quier dicir que, polo xeneral, la resultancia de dividir dos númberos enteros nun va ser otru númberu enteru, nun siendo que'l dividendu sía un múltiplu enteru del divisor.

Esisten criterios de divisibilidad para númberos enteros (por casu, tou númberu termináu en 0,2,4,6 o 8 va ser divisible ente 2), utilizaos particularmente pa descomponer los enteros en factores primos, lo que s'usa en cálculos como'l mínimu común múltiplu o'l máximu común divisor.

División de númberos racionales

La división en ℚ siempres ye posible, si cúmplese que'l divisor nun sía nulu. Pos el cociente-divisor $x\div y$ nun ye sinón el productu $x\cdot y^{-1}$ .

Nos racionales, la resultancia de dividir dos númberos racionales (a condición de que'l divisor nun sía 0) puede calculase con cualesquier de les fracciones representatives. Puede definise de la manera siguiente: daos p/q y r/s,

${p \over q}\div {r \over s}={p \over q}\cdot {s \over r}={p\cdot s \over q\cdot r}$

Esta definición demuestra que la división funciona como la operación inversa de la multiplicación.

División de númberos reales

La resultancia de dividir dos númberos reales ye otru númberu real (siempres y cuando'l divisor nun sía 0). Defínese como a/b = c si y solu si a = cb y b ≠ 0.

División de formas binómicas cuadráticas

$(a+b{\sqrt {2}})\div (c+d{\sqrt {2}})=(a+b{\sqrt {2}})\times (c+d{\sqrt {2}})^{-1}$

(Fonte:^[6])

División ente cero

La división de cualquier númberu ente cero ye una «indefinición». Esto resulta del fechu que cero multiplicáu por cualesquier cantidá finita ye otra vegada cero, ye dicir que'l cero nun tien un inversu multiplicativu.

División de númberos complexos

La resultancia de dividir dos númberos complexos ye otru númberu complexu (siempres y cuando'l divisor nun sía 0). Defínese como

${p+iq \over r+is}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}$

onde r y s nun son dambos iguales a 0.

Na forma trigonométrica:

$r(\cos a+i\sin a)\div s(\cos b+i\sin b)=(r\div s)(\cos(a-b)+i\sin(a-b))$

Na forma esponencial:

${pe^{iq}\div re^{is}}=(p\div r)e^{i(q-s)}.$

Referencies

↑ Adler «Nueva matemática»
↑ Academia de la Llingua Asturiana, "Dividir" Diccionariu de la Llingua Asturiana (DALLA) (2015)
↑ Fosnot and Dolk 2001. Young Mathematicians at Work: Constructing Multiplication and Division. Portsmouth, NH: Heinemann.
↑ José Vicente Ampuero. «Aritmética teórica», Edidiones de UNMSM, Lima (1960)
↑ Sigler.«Álgebra»
↑ Zuckerman. «Introducción a la teoría de los números»

[1] Adler «Nueva matemática»

[2] Academia de la Llingua Asturiana, "Dividir" Diccionariu de la Llingua Asturiana (DALLA) (2015)

[3] Fosnot and Dolk 2001. Young Mathematicians at Work: Constructing Multiplication and Division. Portsmouth, NH: Heinemann.

[4] José Vicente Ampuero. «Aritmética teórica», Edidiones de UNMSM, Lima (1960)

[5] Sigler.«Álgebra»

[6] Zuckerman. «Introducción a la teoría de los números»

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