Đồng nghĩa từTuyến tính không gian( tuyến tính không gian ) nhất bàn chỉ hướng lượng không gian
Hướng lượng không gian, hựu xưngTuyến tính không gian,ThịTuyến tính đại sổĐích trung tâm nội dung hòa cơ bổn khái niệm chi nhất.
TạiGiải tích kỉ hàLí dẫn nhậpHướng lượngKhái niệm hậu, sử hứa đa vấn đề đích xử lý biến đắc canh vi giản khiết hòa thanh tích, tại thử cơ sở thượng đích tiến nhất bộ trừu tượng hóa, hình thành liễu dữVựcTương liên hệ đích hướng lượng không gian khái niệm. Thí như, thật hệ sổ đa hạng thức đích tập hợp tại định nghĩa thích đương đích vận toán hậu cấu thành hướng lượng không gian, tại đại sổ thượng xử lý thị phương tiện đích. Đan biến nguyên thật hàm sổ đích tập hợp tại định nghĩa thích đương đíchVận toánHậu, dã cấu thành hướng lượng không gian, nghiên cứu thử loại hàm sổ hướng lượng không gian đích sổ học phân chi xưng viPhiếm hàm phân tích.
Hướng lượng không gian tha đíchLý luậnHòa phương pháp tại khoa học kỹ thuật đích các cá lĩnh vực đô hữu quảng phiếm đích ứng dụng.[1]
- Trung văn danh
- Hướng lượng không gian
- Ngoại văn danh
- Vector space
- Biệt danh
- Tuyến tính không gian,Thỉ lượng không gian
- Sở chúc khoa mục
- Tuyến tính đại sổ
- Cơ bổn đối tượng
- Hướng lượng,Tuyến tính biến hoán
- Sổ học phân chi
- Phiếm hàm phân tích
Hướng lượng không gian định nghĩa vi đái hữu gia pháp hòa tiêu lượng thừa pháp đích tập hợpV.Hướng lượng không gian trung đích nguyên tố xưng vi hướng lượng ( vector ) hoặc điểm ( point ).
Tập hợpVThượng đích gia pháp thị nhất cá hàm sổ, tha bả mỗi nhất đốiu,v∈VĐô đối ứng đáoVĐích nhất cá nguyên tốu＋v.
Tập hợpVThượng đích tiêu lượng thừa pháp thị nhất cá hàm sổ, tha bả nhậm ýλ∈FHòav∈VĐô đối ứng đáo nhất cá nguyên tốλv∈V.(FThị nhất cá vực )[6]
Hướng lượng không gian diệc xưng tuyến tính không gian. Tha thị tuyến tính đại sổ đích trung tâm nội dung hòa cơ bổn khái niệm chi nhất. Thiết V thị nhất cá phi không tập hợp, P thị nhất cá vực. Nhược:
1. Tại V trung định nghĩa liễu nhất chủng vận toán, xưng vi gia pháp, tức đối V trung nhậm ý lưỡng cá nguyên tố α dữ β đô án mỗ nhất pháp tắc đối ứng vu V nội duy nhất xác định đích nhất cá nguyên tố α+β, xưng vi α dữ β đích hòa.[2]
2. Tại P dữ V đích nguyên tố gian định nghĩa liễu nhất chủng vận toán, xưng vi thuần lượng thừa pháp ( diệc xưng sổ lượng thừa pháp ), tức đối V trung nhậm ý nguyên tố α hòa P trung nhậm ý nguyên tố k, đô án mỗ nhất pháp tắc đối ứng V nội duy nhất xác định đích nhất cá nguyên tố kα, xưng vi k dữ α đích tích.
3. Gia pháp dữ thuần lượng thừa pháp mãn túc dĩ hạ điều kiện:
1) α+β=β+α, đối nhậm ý α, β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ, đối nhậm ý α, β, γ∈V.
3) tồn tại nhất cá nguyên tố 0∈V, đối nhất thiết α∈V hữu α+0=α, nguyên tố 0 xưng vi V đích linh nguyên.
4) đối nhậm nhất α∈V, đô tồn tại β∈V sử α+β=0, β xưng vi α đích phụ nguyên tố, ký vi -α.
5) đối P trung đan vị nguyên 1, hữu 1α=α(α∈V).
6) đối nhậm ý k, l∈P, α∈V hữu (kl)α=k(lα).
7) đối nhậm ý k, l∈P, α∈V hữu (k+l)α=kα+lα.
8) đối nhậm ý k∈P, α, β∈V hữu k(α+β)=kα+kβ,
Tắc xưng V vi vực P thượng đích nhất cá tuyến tính không gian, hoặc hướng lượng không gian. V trung nguyên tố xưng vi hướng lượng, V đích linh nguyên xưng vi linh hướng lượng, P xưng vi tuyến tính không gian đích cơ vực. Đương P thị thật sổ vực thời, V xưng vi thật tuyến tính không gian; đương P thị phục sổ vực thời, V xưng vi phục tuyến tính không gian. Lệ như, nhược V vi tam duy kỉ hà không gian trung toàn thể hướng lượng ( hữu hướng tuyến đoạn ) cấu thành đích tập hợp, P vi thật sổ vực R, tắc V quan vu hướng lượng gia pháp ( tức bình hành tứ biên hình pháp tắc ) hòa sổ dữ hướng lượng đích thừa pháp cấu thành thật sổ vực R thượng đích tuyến tính không gian. Hựu như, nhược V vi sổ vực P thượng toàn thể m×n củ trận tổ thành đích tập hợp Mmn(P), V đích gia pháp dữ thuần lượng thừa pháp phân biệt vi củ trận đích gia pháp hòa sổ dữ củ trận đích thừa pháp, tắc Mmn(P) thị sổ vực P thượng đích tuyến tính không gian.V trung hướng lượng tựu thị m×n củ trận. Tái như, vực P thượng sở hữu n nguyên hướng lượng (a1,a2,…, an) cấu thành đích tập hợp P đối vu gia pháp: (a1,a2,…, an)+(b1,b2,…, bn)=(a1+b1,a2+b2,…, an+bn) dữ thuần lượng thừa pháp: λ(a1,a2,…, an)=(λa1,λa2,…, λan) cấu thành vực P thượng đích tuyến tính không gian, xưng vi vực P thượng n nguyên hướng lượng không gian.
Tuyến tính không gian thị tại khảo sát liễu đại lượng đích sổ học đối tượng ( như kỉ hà học dữ vật lý học trung đích hướng lượng, đại sổ học trung đích n nguyên hướng lượng, củ trận, đa hạng thức, phân tích học trung đích hàm sổ đẳng ) đích bổn chất chúc tính hậu trừu tượng xuất lai đích sổ học khái niệm, cận đại sổ học trung bất thiếu đích nghiên cứu đối tượng, như phú phạm tuyến tính không gian, mô đẳng đô dữ tuyến tính không gian hữu trứ mật thiết đích quan hệ. Tha đích lý luận dữ phương pháp dĩ kinh sấm thấu đáo tự nhiên khoa học, công trình kỹ thuật đích hứa đa lĩnh vực.Cáp mật đốn(Hamilton, W.R.) thủ tiên dẫn tiến hướng lượng nhất từ, tịnh khai sang liễu hướng lượng lý luận hòa hướng lượng kế toán.Cách lạp tư mạn(Grassmann, H.G.) tối tảo đề xuất đa duy âu kỉ lí đắc không gian đích hệ thống lý luận. 1844—1847 niên, tha dữKha tây(Cauchy, A.-L.) phân biệt đề xuất liễu thoát ly nhất thiết không gian trực quan đích, thành vi nhất cá thuần túy sổ học khái niệm đích, trừu tượng đích n duy không gian.Đặc phổ lợi tì(Toeplitz, O.) tương tuyến tính đại sổ đích chủ yếu định lý thôi quảng đáo nhậm ý vực thượng đích nhất bàn đích tuyến tính không gian trung.
Thiết F thị nhất cáVực.Nhất cá F thượng đích hướng lượng không gian thị nhất cáTập hợpV đích lưỡng cá vận toán:
Hướng lượng gia pháp: V + V → V, ký tác v + w,V v, w∈V
Tiêu lượng thừa pháp: F × V → V, ký tác a·v, V a∈F, v∈V
Phù hợp hạ liệt công lý (∀ a, b ∈ F cập u, v, w ∈ V):
- 1.Hướng lượng gia pháp kết hợp luật: u + (v + w) = (u + v) + w;
- 2.Hướng lượng gia pháp giao hoán luật: v + w = w + v;
- 3.Hướng lượng gia pháp đích đan vị nguyên: V lí hữu nhất cá khiếu tố linh hướng lượng đích 0, ∀ v ∈ V, v + 0 = v;
- 4.Hướng lượng gia pháp đích nghịch nguyên tố: ∀v∈V, ∃w∈V, sử đắc v + w = 0;
- 5.Tiêu lượng thừa pháp phân phối vu hướng lượng gia pháp thượng: a(v + w) = a v + a w;
- 6.Tiêu lượng thừa pháp phân phối vu vực gia pháp thượng: (a + b)v = a v + b v;
- 7.Tiêu lượng thừa pháp nhất trí vu tiêu lượng đích vực thừa pháp: a(b v) = (ab)v;
- 8.Tiêu lượng thừa pháp hữu đan vị nguyên: 1 v = v, giá lí 1 thị chỉ vực F đích thừa pháp đan vị nguyên.
Hữu ta giáo khoa thư hoàn cường điều dĩ hạ lưỡng cá công lý:
V bế hợp tại hướng lượng gia pháp hạ: v + w ∈ V
V bế hợp tại tiêu lượng thừa pháp hạ: a v ∈ V
Canh trừu tượng đích thuyết, nhất cá F thượng đích hướng lượng không gian thị nhất cá F-Mô.V đích thành viên khiếu tác hướng lượng, nhi F đích thành viên khiếu tácTiêu lượng.Nhược F thị thật sổ vực R, V xưng viThật hướng lượng không gian;Nhược F thị phục sổ vực C, V xưng vi phục hướng lượng không gian; nhược F thị hữu hạn vực, V xưng vi hữu hạn vực hướng lượng không gian; đối nhất bàn vực F, V xưng vi F- hướng lượng không gian.[3]
Thủ 4 cá công lý thị thuyết minh hướng lượng V tại hướng lượng gia pháp trung thị cá a bối nhĩ quần, dư hạ đích 4 cá công lý ứng dụng vu tiêu lượngThừa pháp.
Dĩ hạ đô thị nhất ta ngận dung dịch tòng hướng lượng không gian công lý thôi triển xuất lai đích đặc tính:
- Linh hướng lượng0 ∈ V ( công lý 3 ) thị duy nhất đích
- a 0 = 0, ∀ a ∈ F
- 0 v = 0, ∀ v ∈ V, giá lí 0 thị F đích gia pháp đan vị nguyên
- a v = 0, tắc khả dĩ thôi xuất yếu ma a = 0, yếu ma v = 0
- v đích gia pháp nghịch nguyên ( công lý 4 ) thị duy nhất đích ( tả thành −v ), giá lưỡng cá tả pháp v − w cập v + (−w) đô thị tiêu chuẩn đích
- (−1)v = −v, ∀ v ∈ V
- (−a)v = a(−v) = −(av), ∀ a ∈ F, ∀ v ∈ V
Như quả V thị nhất cá tuyến tính không gian, như quả tồn tại bất toàn vi linh đích hệ sổ c1,c2,..., cn∈F, sử đắc c1v1+ c2v2+... + cnvn= 0, na ma kỳ trung hữu hạn đa cá hướng lượng v1,v2,..., vnXưng viTuyến tính tương quanĐích.
Phản chi, xưng giá tổ hướng lượng viTuyến tính vô quanĐích. Canh nhất bàn đích, như quả hữu vô cùng đa cá hướng lượng, ngã môn xưng giá vô cùng đa cá hướng lượng thị tuyến tính vô quan đích, như quả kỳ trung nhậm ý hữu hạn đa cá đô thị tuyến tính vô quan đích.
Thiết W vi hướng lượng không gian V đích nhất cá phi không tử tập, nhược W tại V đích gia pháp cập tiêu lượng thừa pháp hạ thị phong bế đích, thảLinh hướng lượng0 ∈ W, tựu xưng W vi V đíchTuyến tính tử không gian.
Cấp xuất nhất cá hướng lượng tập hợp B, na ma bao hàm tha đích tối tiểu tử không gian tựu xưng vi tha đích khoách trương, ký tác span(B). Lánh ngoại khả dĩ quy địnhKhông tậpĐích khoách trương vi {0}.
Cấp xuất nhất cá hướng lượng tập hợp B, nhược tha đích khoách trương tựu thị hướng lượng không gian V, tắc xưng B vi V đíchSinh thành tập hợp.
Cấp xuất nhất cá hướng lượng tập hợp B, nhược B thị tuyến tính vô quan đích, thả B năng cú sinh thành V, tựu xưng B vi V đích nhất cá cơ. Nhược V={0}, duy nhất đích cơ thị không tập.[4]Đối phi linh hướng lượng không gian V, cơ thị V tối tiểu đích sinh thành tập, dã thịCực đại tuyến tính vô quan tổ.
Như quả nhất cá hướng lượng không gian V ủng hữu nhất cá nguyên tố cá sổ hữu hạn đích sinh thành tập, na ma tựu xưng V thị nhất cá hữu hạn duy không gian. Hướng lượng không gian đích sở hữu cơ ủng hữu tương đồng cơ sổ, xưng vi cai không gian đíchDuy độ.Lệ như, thật sổ hướng lượng không gian: R0,R1,R2,R3,…Trung, RnĐích duy độ tựu thị n.
Không gian nội đích mỗi cá hướng lượng đô hữu duy nhất đích phương pháp biểu đạt thành cơ trung hướng lượng đíchTuyến tính tổ hợp.Nhi thả, tương cơ trung hướng lượng tiến hành bài liệt, biểu kỳ thành hữu tự cơ, mỗi cá hướng lượng tiện khả dĩ tọa tiêu hệ thống lai biểu kỳ.
Nhược V hòa W đô thị vựcFThượng đích hướng lượng không gian, khả dĩ thiết định do V đáo W đíchTuyến tính biến hoánHoặc “Tuyến tính ánh xạ”. Giá ta do V đáo W đích ánh xạ đô hữu cộng đồng điểm, tựu thị tha môn bảo trì tổng hòa cập tiêu lượng thương sổ. Giá cá tập hợp bao hàm sở hữu do V đáo W đích tuyến tính ánh xạ, dĩ L(V, W) lai miêu thuật, dã thị nhất cá vựcFThượng đích hướng lượng không gian. Đương V cập W bị xác định hậu, tuyến tính ánh xạ khả dĩ dụngCủ trậnLai biểu đạt.
Đồng cấuThị nhất đối nhất đích nhất trương tuyến tính ánh xạ. Như quả tại V hòa W chi gian tồn tại đồng cấu, ngã môn xưng giá lưỡng cá không gian vi đồng cấu; vựcFThượng mỗi nhấtnDuy hướng lượng không gian đô dữ hướng lượng không gianFĐồng cấu.
Nhất cá tại F tràng đích hướng lượng không gian gia thượng tuyến tính ánh xạ tựu khả dĩ cấu thành nhất cáPhạm trù,Tức a bối nhĩ phạm trù.
Nghiên cứu hướng lượng không gian ngận tự nhiên thiệp cập nhất ta ngạch ngoại kết cấu. Ngạch ngoại kết cấu như hạ:
Nhất cá thật sổ hoặc phục sổ hướng lượng không gian gia thượng trường độ khái niệm. Tựu thịPhạm sổXưng viPhú phạm hướng lượng không gian.
Nhất cá thật sổ hoặc phục sổ hướng lượng không gian gia thượng trường độ hòa giác độ đích khái niệm, xưng viNội tích không gian.
Nhất cá hướng lượng không gian gia thượng thác phác học phù hợp vận toán đích ( gia pháp cập tiêu lượng thừa pháp thị liên tục ánh xạ ) xưng viThác phác hướng lượng không gian.
Nhất cá hướng lượng không gian gia thượng song tuyến tính toán tử ( định nghĩa vi hướng lượng thừa pháp ) thị cá vực đại sổ.[5]
