在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
定义：如果
称为
在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数 [2]
图示定理一
定理二
如果
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：
- 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
- 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
泰勒级数
基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主
要是收敛性)
布鲁克·泰勒进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。
到了17世纪，詹姆斯·格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。1715年，布鲁克·泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。
参考主词条：指数函数
以𝑒为底数的指数函数的麦克劳林序列是：
参考主词条：自然对数
以𝑒为底数的自然对数的麦克劳林序列是：
参考主词条：几何级数
常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
正割函数：
反正弦函数：
反余弦函数：
反正切函数：
