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距离

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数学概念

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在数学中，距离是泛函分析中最基本的概念之一。它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首先接触的概念。距离，是指任意二点之间的直线长短。

中文名: 距离

所属学科: 数学
定义: 学习泛函分析首先接触的概念

目录

1定义
2示例

定义

播报

编辑

设

是任一非空集，对

中任意两点

有一实数

与之对应且满柜提促足：

(1)非负性、同一性：

，且

驼整承当且仅当

；

(2)对称性：

店钻洪档；

(档旬篮3)棕您直递葛拒性：

拘谅享。

称

为

中的一个距离，定义了距离

的集

称为一个距离空间，记为

，在不引起混乱的情形下简记为

说鸦白。^[1]

示例

播报

编辑

本节共提供三个例子。^[2]

例1 设

是

元实数组全体，令

，

其中，

，

。

我们证明

是一个距离空间，为此我们需要验证

满足距离的三条公理。(1)，(2)显然成立，关键是证明(3)成立。我们先证明一下Cauchy不等式：对任意实数

，

，我们有

。

事实上，任取实数

，则

，

上面等式左端是

的一个二次三项式，于是它的判别式不大于0，即Cauchy不等式成立。

下面证明(3)成立，由Cauchy不等式，得

。

设

是任意三点，在上面不等式中令

，则

，

即

。

所以

是一个距离空间，我们把这个空间简记为

。

例2 考虑区间

上所有连续函数集，设

是

上任意两个连续函数，定义

，

由于

也是

上的连续函数，因此有最大值。距离公理(1)(2)显然成立。设

是

上任意三个连续函数，则

。

所以

。

由此可知

上的连续函数全体赋以上述距离

是一个距离空间，记为

。

例3 考虑实数列

的全体。设

是两个实数列，定义

上式右边的

是一个收敛因子，保证级数收敛，距离公理的(1)(2)显然成立，为证明(3)成立，考虑

上的函数

，

易见

，所以

是单增的。由此，设

。由于

，

则有

。

在上不等式两边乘

并求和，得到

。

我们称这个距离空间为

。

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