二进制数(binaries)是逢2进位的进位制,0、1是基本算符 [2];计算机运算基础采用二进制。电脑的基础是二进制。在早期设计的常用的进制主要是十进制(因为我们有十个手指,所以十进制是比较合理的选择,用手指可以表示十个数字,0的概念直到很久以后才出现,所以是1-10而不是0-9)。电子计算机出现以后,使用电子管来表示十种状态过于复杂,所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态,开和关。也就是说,电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机采用二进制来表示数字和数据。常用的进制还有8进制和16进制,在电脑科学中,经常会用到16进制,而十进制的使用非常少,这是因为16进制和二进制有天然的联系:4个二进制位可以表示从0到15的数字,这刚好是1个16进制位可以表示的数据,也就是说,将二进制转换成16进制只要每4位进行转换就可以了。
- 中文名
- 二进制数
- 外文名
- Binary number
- 作 用
- 逻辑运算
- 识 别
- 内存
3、如果一个二进制数的第n位是一,而其他各位都是零,那么这个数等于2^n。
4、如果一个二进制数的第零位到第n - 1位都是1,而且其他各位都是0,那么这个数等于2^n - 1。
5、将一个二进制数的所有位左移移位的结果是将该数乘以二。
7、将两个n位的二进制数相乘可能会需要2*n位来保存结果。
8、将两个n位的二进制数相加或者相减绝不会需要多于n 1位来保存结果。
9、将一个二进制数的所有位取反(就是将所有的一改为零,所有的零改为一)等效于将该数取负(改变符号)再将结果减一。
10、将任意给定个数的位表示的最大无符号二进制数加一的结果永远是零。
11、零递减(减一)的结果永远是某个给定个数的位表示的最大无符号二进制数。
12、n位可以表示2n个不同的组合。
13、十进制数 ,对应二进制所有n位都是一。
下面分别予以介绍。
二进制数的四则运算
二进制数与十进制数一样,同样可以进行加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下:
加运算:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10,(逢2进1);
减运算:1-1=0,1-0=1,0-0=0,0-1=1,(向高位借1当2);
乘运算:0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,(只有同时为“1”时结果才为“1”);
除运算:二进制数只有两个数(0,1),因此它的商是1或0。
加法0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=10
减法0-0=0,1-0=1,1-1=0,0-1=-1,10100-1010=1010
乘法0×0=0,0×1=1×0=0,1×1=1
除法0÷1=0,1÷1=1
如下:
(3)再进行倒数第三位相加。这里加数和被加数的倒数第二位都为“0”,根据加法原则可以知道,本来结果应为“0”,但倒数第二位已向这位进“1”了,相当于要加“被加数”、“加数”和“进位”这三个数的这个数码位,所以结果应为0 1=1。
(4)最后最高位相加。这里加数和被加数的最高位都为“1”,根据加法原则可以知道,相加后为“(10)2”。一位只能有一个数字,所以需要再向前进“1”,本身位留下“0”,这样该位相加后就得到“0”,而新的最高位为“1
(1)首先最后一位向倒数第二位借“1”,相当于得到了(10)2,也就是相当于十进制数中的2,用2减去1得1。
(2)再计算倒数第二位,因为该位同样为“0”,不及减数“1”大,需要继续向倒数第三位借“1”(同样是借“1”当“2”),但因为它在上一步中已借给了最后一位“1”(此时是真实的“1”),则倒数第二位为1,与减数“1”相减后得到“0”。
(3)用同样的方法倒数第三位要向它们的上一位借“1”(同样是当“2”),但同样已向它的下一位(倒数第二位)借给“1”(此时也是真实的“1”),所以最终得值也为“0”。
(4)被减数的倒数第四位尽管与前面的几位一样,也为“0”,但它所对应的减数倒数第四位却为“0”,而不是前面几位中对应的“1”,它向它的高位(倒数第五位)借“1”(相当于“2”)后,在借给了倒数第四位“1”(真实的“1”)后,仍有“1”余,1 –0=1,所以该位结果为“1”。
在二进制数的加、减法运算中一定要联系上十进制数的加、减法运算方法,其实它们的道理是一样的,也是一一对应的。在十进制数的加法中,进“1”仍就当“1”,在二进制数中也是进“1”当“1”。在十进制数减法中我们向高位借“1”当“10”,在二进制数中就是借“1”当“2”。而被借的数仍然只是减少了“1”,这与十进制数一样。
把二进制数中的“0”和“1”全部当成是十进制数中的“0”和“1”即可。根据十进制数中的乘法运算知道,任何数与“0”相乘所得的积均为“0”,这一点同样适用于二进制数的乘法运算。只有“1”与“1”相乘才等于“1”。乘法运算步骤:
(2)因为“011”与除数“110”相比,不足以被除,所以需要向低取一位,最终得到“0111”,此时的数就比除数“110”大了,可以继续除了。同样用“1”作为商去除,相当于用“1”去乘除数“110”,然后把所得的积与被除数中当前四位“0111”相减。根据以上介绍的减法运算规则可以得到此步的余数为“1”。
这样一来,所得的商(1101)2就是两者相除的结果。
01000001表示A 01000010表示B
8个二进制位称为一个字节(Byte,代号为B)。字节是最基本的信息储存单位,一个字节可以储存一个英文字母或符号编码,两个字节可以储存一个汉字编码。
同二进制数一样,二进制编码也是计算机内部用来表示信息的一种手段,人们平时和计算机打交道时,根本不用理它。我们仍然用人们习惯的方式输入或者输出信息,期间的转换则由计算机自动去完成。
计算机中一个存储单位(即一个字节)里存放的究竟是二进制数还是二进制编码?是英文是汉字?事实上它们都由程序进行识别。例如,表示英文字符的8位二进制编码的最高位是0,而表示汉字两个8位二进制编码的最高位是1,这一点就是程序区别存储单位里存放的是英文还是汉字的一个依据。
1980年中国为6763个常用汉字规定了编码,称为《信息交换用汉字编码字符集·基本集》,简称GB2312-80,每个汉字占16位。在Windows95/98/2000/XP简体中文版操作系统中,使用的是《汉字内码扩展规范》,简称GBK,每个汉字占16位,它能表示20902个汉字。Linux简体中文版操作系统中,使用的是UTF-8编码,大多数汉字占24位,能表示7万多个汉字。
十进制数→二进制数(注:十进制数只有0到9)
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
二进制 | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 |
16→10000
46→101110
99→1100011
888→1101111000
7654→1110111100110
在这个数中,有些相同的数字由于处在不同的位置,它们代表的数值的大小也不同,各位数字所代表的数值的大小是由位权来决定的。位权是一个乘方值,乘方的底数为进位计数制的基数(本例中为1 0 ),而指数由各位数字在数中的位置来决定。以上的十进制数中,从左至右各位数字的位权分别为:10³、10²、10¹、10º、 、 。一般而言,在进位制中,把一个数中各位数字为1时代表的数值大小称为位权。如456它们的位权就是当各位为1时的数值大小,456中的4的位权就是10(2),5的位权就是10(1),6的位权就是10(0).
除了位权对于进制记数的另一个重要概念就是基数,基数很好理解,就是进位计数制中所使用的不同基本符号的个数称为该计数制的基数,比如十进制就是1.2.3.4.5.6.7.8.9.0这十个数,相对而言二进制就两个基数:0和1,八进制就是:0.1.2.3.4.5.6.7,十六进制就是:0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.A.B.C.D.E.F
由上面两个概念可以得出以下公式:[以下将详细说名]
N进制的基数就能表示为:0、1、2、……、N-2、N-1
N进制展开成十进制公试:如
十进制:有10个基数:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,逢十进一
二进制:有2 个基数:0、1,逢二进一
八进制:有8个基数:0、1、2、3、4、5、6、7,逢八进一
十六进制:有16个基数:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F,逢十六进一
由于大家从小开始就学习十进制,生活中用途更是广泛,一种单一的数字思维模式使我们很多人以为就只有这么一种进制数.在以下给大家说说计算机中用得最多的进制数,让大家开阔思维,不要停留于一成不变的思维模式中。
计算机中用得最多也是CPU唯一能认出的数制,那就是二进制。计算机是处理信息的机器,信息处理的前提是信息的表示。计算机内信息的表示形式是二进制数字编码。也就是说,各种类型的信息(数值、文字、声音、图像)必须转换成数字量即二进制数字编码的形式,才能在计算机中进行处理。那怕你移动一下鼠标,按一下键盘,你的每一个动作最后到了CPU那也就只剩0和1了,有时觉得设计计算机的人也太厉害了,就两个数字就能弄出这么完美的东西来,这就是智慧的结晶,其实说到底了CPU也就几百条指令而已,在软件和系统的层层迭加下让我们根本就不了解计算机内部是什么样?其实没什么,就是0和1两个状态而已。
二进制数只有“0”和“1”两个基本符号,易于用两种对立的物理状态表示。例如,可用"1"表示电灯开关的“闭合”状态,用“0”表示“断开”状态;晶体管的导通表示“1”, 截止表示“0”;电容器的充电和放电、电脉冲的有和无、脉冲极性的正与负、电位的高与低等一切有两种对立稳定状态的器件都可以表示二进制的“0”和“1”。而十进制数有10个基本符号(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9),要用10种状态才能表示,要用电子器件实现起来是很困难的。
二进制数的算术运算特别简单,加法和乘法仅各有3条运算规则( 0+0=0,0+1=1,1+1=10和0×0=0,0×1=0,1×1=1 ),运算时不易出错。[其实计算机处理算术运算时都是加法和移位,并没有乘除法,如11B左移一位就成了110B,11B是十进制的3,而110B是6,看看是不是等于乘二,左移乘,右移就除,哈哈,好玩吧]此外,二进制数的“1”和“0”正好可与逻辑值“真”和“假”相对应,这样就为计算机进行逻辑运算提供了方便。算术运算和逻辑运算是计算机的基本运算,采用二进制可以简单方便地进行这两类运算。
虽然二进制有不少优点,但毕竟我们日常生活中用的都是十进制。为了能在日常生活中使用,就有必要把它转换为十进制。至于为什么用八进制和十六进制呢?很简单,就是因为它是2的乘方,2³=8,2⁴=16,这样一来就便于二进制的计算和阅读。
对于其它进制转换为十进制比较简单,下面举例说明:在计算机科学中,二进制、八进制、十进制、十六进制有简写,这样是为了不混淆。十进制一般在末尾加个字母D[一般习惯都不加],二进制加个B,八进制加Q,十六进制加H。
例如:123D、1011B、123Q、AB9H、0.11D、0.11B、0.11Q、0.11H。
而十进制转换为其它进制就比较难办了哦,但方法是有的,而且不少方法。在此介绍一种比较常用的,便于大家掌握。
十进制转换为二进制技巧
只能举例了,文字说不清的,通常将一个十进制数的整数部分和小数部分分开处理。
(1)将给定的十进制整数除以基数2,余数便是等值的二进制的最低位。
(2)将上一步的商再除以基数2,余数便是等值的二进制数的次低位。
(3)重复步骤2,直到最后所得的商等于0为止。各次除得的余数,便是二进制各位的数,最后一次的余数是最高位
二进制与八进制十六进制转换技巧
二进制从最低位开始每三位转换为十进制即为其对应八进制。
高位不足三位,补零。
同理二进制从最低位开始每四位转换为十进制即为其对应十六进制。
高位不足四位,补零。
例如 1001100₂ = 114₈ = 4C₁₆