- 中文名
- 二面角
- 外文名
- dihedral angle
- 度量工具
- 平面角
- 范围取值
- 0°≤θ≤180°
- 应 用
- 空间几何
- 学 科
- 数学
1.半平面:平面的一条直线把平面分成两部分,其中每一部分都叫做一个半平面。
平面内的一条直线,把这个平面分为两部分,每一部分都叫作半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面。二面角的大小,可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度。 [3]二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转,它的最初位置和最终位置组成的图形。
二面角的平面角的大小,与其顶点在棱上的位置无关。如果两个二面角能够完全重合,则说它们是相等的.如果两个二面角的平面角相等,那么这两个二面角相等。反之,相等二面角的平面角相等。
关于二面角的性质为:
(1)同一二面角的任意两个平面角相等,较大二面角的平面角较大。
(2)两个二面角的和或差所对应的平面角,是原来两个二面角所对应的平面角的和或差。
(3)二面角可以平分,且平分面是唯一的。
(4)对棱二面角相等。 [4]
作二面角的平面角的常用方法有以下几种:
2、垂面法 :作与棱垂直的平面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角
3、面积射影定理:二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S(S'为射影面积,S为斜面面积)。运用这一方法的关键是从中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影,而且它们的面积容易求得。
5、向量法:分别作出两个半平面的法向量,由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。
6、转化法:在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P,求出P到β的距离h和P到l的距离d,那么arcsin(h/d)(二面角为锐角)或π-arcsin(h/d)(二面角为钝角)就是二面角的大小。
7、异面直线的距离法:设二面角为C-AB-D,其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB,BD⊥AB(即AB是异面直线AC和BD的公垂线)。设AB=d,CD=l,AC=m,BD=n,根据![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37bb9b8e4b584e32111be42f74193908.svg)
来求异面直线所成角θ。利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。如果是锐角,那么取正号;钝角,那么取负号。待求出θ以后,如果二面角是锐角,那么二面角的大小就是θ;钝角,那么二面角的大小就是π-θ。
其中,(1)、(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角。
(1)作出二面角的平面角
A:利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角;
C:利用与棱垂直的直线,通过作棱的垂面作平面角;
D:利用无棱二面角的两条平行线作平面角。
(2)证明该角为平面角
(3)归纳到三角形求角
3)然后求![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/19844f44d67ce829d0ecb06871dd5122.svg)
和![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/d37ad8372880437a0cb56f222adea17c.svg)
的夹角θ的余弦![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/55ea6fba24b7f26167abd9156476dd68.svg)
4)根据图像观察![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/19844f44d67ce829d0ecb06871dd5122.svg)
和![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/d37ad8372880437a0cb56f222adea17c.svg)
的方向。如果两个法向量一个指向二面角内部另一个指向二面角外部,则二面角的大小就是θ。如果两个法向量同时指向二面角内部或外部,则二面角的大小为π-θ。