设为开子集，且 是一个单复变函数，称在 (复) 可微( [complex] differentiable) 或全纯，如果极限 存在。 [2] 若 在 中处处可微，则称 在上全纯(holomorphic over )。 一个单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足柯西-黎曼方程。 所有碑页关于 的复系数的多项式 函数凳腊在 上是全纯驼旬匪的. 所有关于 的三角函数 和指数函数 也是 (三角函数和指数函数通过欧拉公式联系). 对数函数的主支在集合 上全纯. 平方根函挨协项数可以影乎多定义为 所以任何复对数 全纯的地方雅套漏桨, 它也全纯. 函数 在 上全纯. 不是全纯的函数的典章誉迁型例子有复共轭 (complex conjugation) 和取实部 姜邀篮. 因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非 的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域 内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。 全纯函数满足Cauchy-Riemann方组，该方程组含有两个偏微分方程，也可以用复偏导算子写成一个。
在非 导数的点的附近，全纯函数是共形的 (或保角的，实际上就是相似在局部的推广)。因为它保持了图形的局部角度和形状 (但尺寸可能改变)。 Cauchy 积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 多复变量的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比Cauchy-Riemann方程要强。事实上它可以这样表述: 一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足Cauchy-Riemann方程并且局部平方可积。
全纯函数的概念可以扩展到泛函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。 
