在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪，实数霸故邀才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在删婚实数的基础上发展起来。1871年，德国腊愚请数学家康托尔第一次提出了实数的严婚胶企格定义。
根据日常经验，有理数集在数轴上似想棕肯兆只颂乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001厘米），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414厘米）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可端钻连谓极大的打击(见第一次数学危机)。
从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数体体棕、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
实数集是有序的，即任意两个实数
实数大小具有传递性，即若
实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即
一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限
实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
二、 “完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为
所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
2. 超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在中证明要简单一些），从而确定这些命题在R中也成立。
实数集构成一个度量空间：
2、R是可分空间。
3、
5、R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
6、每个R中的有界序列都有收敛子序列。
7、R是连通且单连通的。
Ⅲ 若
Ⅳ 若 
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域
