- 中文名
- 平面解析几何
- 外文名
- Analytic geometry
- 所属学科
- 数学
- 适用领域
- 平面几何
对代数几何学者来说，解析几何也指（实判篮或者复）流形，或者更广义寒验再渗地通过一些复变数（或实变数）的解析函数为零而定义的解析空间理论。这一理论非常接近代数几何，特别是通过让-皮埃尔·塞尔在《代数几何和解析几何》领域的工作。这是一个比代数几何更大的领域，不过也可以使用类似的方法。 [1]
古希腊数学家梅内克缪斯的解题、证明方式与使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式被称为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但它没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。
从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡儿创立的。笛卡儿的创举被记录在《几何学》当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕恭维后，才被大众所认可接受。
费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡儿《方法论》一点。《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡儿从几何曲线开始，以方程的完结告终。结果，笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。 [2]
在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。
在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。
通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r2代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所有圆。
在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为
变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。例如，母方程
变化可以应用到任意几何等式中，不论等式是否代表某一方程。 变化可以被认为是个体处理、或是组合处理。
例如，
将
将
将
将
将
虽然本讨论仅限于xy-平面上，但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象P和Q指代
我们的交集有两点：
解析几何中的重要问题：
