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异面直线的距离

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数学定义

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。

中文名: 异面直线距离
定义: 两条异面直线的公垂线段的长度

定理1: 任意两条异面直线且有一条公垂线
定理2: 两条异面直线的公垂线段长

有关定理

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定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

常用计算方法

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（1）找出（或作出）公垂线，悼拘计算公垂线段的长度。

（2）转化为求线面间的距离。

过热辣甩其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c赠欢采所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。

（3）转化为求平行霉员踏平面间的距离。

过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。

（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

公共法向量

可以运用向量积找到，设任意两点所连成的向量为

，它们的夹角为

，则异面直线的距离

该公式可以这样理解：设异面直线AM和BN，其中AB是公垂线，M、N是两条直线上任意的两点。明显地，MA⊥AB，NB⊥AB，根据射影的定义可知，

迁断是

的射影，而

就是异面直线的距离。

（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。

（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为姜辨立达θ。则

。注意正负号的使用，当二面角C-AB-D为θ时取+，为π-θ时取-。

第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。a与l的夹角为θ1，b与l夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为

（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为

和

，

是两条直线上任意一点的连线的向量，则异面直线的距离

该公式具有明显的几何意义。分子是

、

和

所构成的平行六面体的体积，分母是该平行六面体的底面积，异面直线的距离就是平行六面体的高。根据体积公式得

。

参考（4）的求法，我们可以发现

恰好就是两条异面直线的拔整公共法向量

，所以这两条公式从本质上来说是一样的台鸦户，只不过解读的角度不同而已。

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