- 中文名
- 留数
- 外文名
- Residue
- 所属学科
- 复变函数
- 数值上等于
- 解析函数洛朗展开负一次幂项系数
- 留数计算
- 根据孤立奇点采用不同的计算方法
- 应 用
- 简化某些类型的实积分的计算过程
- 定理名称
- 留数定理
(泰勒公式展开)
设![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
是![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的孤立奇点,![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
在圆环域D:![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/305d867d1f4b77063840fd42f3878324.svg)
内解析,C是D内围绕![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
的任一正向简单闭曲线,则称积分
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
在![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
处的留数,记为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/7f960a0a8e4b4f6a67a849a8f918db3c.svg)
,即
其中![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/e804710b306262f2848c6bd62772dbcd.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的洛朗展开式中负幂项![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/1f2938f5e1636ca1e03c6a7b6d9b2b2a.svg)
的系数。 [1]
设函数![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
在区域D内除有限个孤立奇点![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/a5f34c917245664895b0a14a37eeccf5.svg)
外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么 [1]
可去奇点处留数的计算
若![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的可去奇点,则![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
在![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
的去心邻域内的洛朗展开式中没有负幂项,因此![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/67391f567eb3d739d5857d905b4968f8.svg)
,即![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/a58a4dc3999ea12d1b72876e27ae22ee.svg)
。
本性奇点处留数的计算
若![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的本性奇点,则需要将![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
在![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
的去心邻域内进行洛朗展开,然后求出负一次幂项的系数![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/e804710b306262f2848c6bd62772dbcd.svg)
,即为留数。
极点处留数盼敬的计归应慨嫌算
1)若![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
懂多的单极点,则
2)若![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/872d4cfe7ca4e22bb7ad9fd700fc02fb.svg)
,其中![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/e5b24b5763c7ab8e553ae89748e2c47f.svg)
在![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
处解析,如果![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/f2ab7cae587f51bdb724d20ffbe79dec.svg)
束府,![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
渗断朽为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/ce13c46a07efe12852cf80d48e06b8e3.svg)
的1级零点,则![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的单极点,且
3)若![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/eba8b0e4eb309f525a4527afdc03e24c.svg)
为![](https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/37ffe2445ad0d7f625c3f86d4380dcbe.svg)
的m阶糊民市极点,则
根据上面孤立奇点的类型,糊匙捉采用不同的计算方晚料晚法,可以减少计算积分的工作量。 [2]
利用留数定理,可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分,然后利用留数定理计算,从而大大简化计算过程。 [3]