虚数单位

数学名词

0有用+1

虚数单位（Imaginary unit）是可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算，且其平方等于-1的数。虚数单位的幂具有周期性。欧拉于1748年在其《无穷小分析理论》中提出用i表示虚数单位，1801年经高斯系统使用后被普遍采用。^[1]

中文名: 虚数
外文名: Imaginary unit^[4]
所属学科: 数学

提出时间: 1748年
提出人: 欧拉
符号: i

来源

播报

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虚数单位“

”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国危轿数学家高斯提倡才普遍使用。

高斯第一个引进术语“复数道催棵”并记作a+b

。

“虚数”一讲符套劝嫌放词首先由笛卡尔提出。

早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+b

，寒纸劝誉他们可能姜催翻是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。

最早把a+b

用向量表示的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由付厚他第一个给出复数的向量运算法则。

符号

来源于法文Imkginaire（虚）的付体朵首字母，复数集

来源于英文Complex number（复数）的首字母。^[2]

定义

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引进一个新数

，并规定：

1.
它的平方等于-1，即
2.
实数可以与它进行四则运算。进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。^[3]

虚数单位

定义为二次方程式

的两个解中的一个解。这方程式又可等价表达为

所以虚数单位同样可以表示为：

记法

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虚数单位有时记为

。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。

公式

仅对于非负的实数才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数，例如：不应使用

，而应使用

。

性质

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基本性质

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，只需要假设

是一个未知数，然后依照

的定义，替代任何

的出现为-1的更高整数幂数也可以替代为

，1或

，一般地，有以下的公式：

其中mod4表示被4除的余数。

共轭

方程

有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭复数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解

，那么

（不等于

）也是一个解，由于这个方程是唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为

，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然

和

在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的

换成

，而把

换成

，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

运算

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许多实数的运算都可以推广到，例如平方根、幂、对数和三角函数。

平方根

以i为底的对数

余弦

正弦

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