- 中文名
- 超越数
- 外文名
- transcendental number
- 提出时间
- 1844年
- 应用学科
- 数学
- 定 义
- 不是代数数的数
- 重要人物
- 刘维尔、厄米特、林德曼
- 类 型
- 数学概念
超越数是不重驼茅能作为泪只懂炼有理系数多项式方程的根的数 [2]，即不是代誉旬请数赠踏户数的数。因为杠炼提欧拉说过敬院：“它们超越代数方法所及的范围之外。（1748年）”而得名。
超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数，定义恰与代数数相反。两个著名的例子：圆周率 π＝3.1415926535…、自然对数的底 e＝2.718281828…。可以证明，超越数有无穷多个。在实数中，除了代数数外，其余的都是超越数，但是超越数不一定是实数，比如著名的欧拉公式
刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822 ~ 1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数（完全否定了“化圆为方”作图的可能性）。
在研究超越数的过程中，大卫·希尔伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代数数，b是无理代数数，则a^b是超越数（希尔伯特问题中的第七题）。
这个猜想已被证明，于是可以断定e、π是超越数。
实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数多项式方程
π，在我国叫又环率、圆率、圆周率等。
最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过2边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
达什首先计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分钟内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家埃尔米特证明e是超越数。
同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5^4=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。这是因为只有e^x导数就是其自身，即d/dx (e^x)=e^x。
π＝4(1/1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11＋…)＝4∑((-1)ⁿ/(1+2n))，n∈N
e＝1/(0!)＋1/(1!)＋1/(2!)＋1/(3!)＋1/(4!)＋1/(5!)＋… =∑1/(n!)，n∈N
π＝16arctan1/5－4arctan1/239，
π＝24arctan1/8＋8arctan1/57＋4arctan1/239。
