叠加性：
齐次：
在α埋她归是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若
对于一芝欢订糠个表慨颈示说仔故热试仔为
的方程，如果
主条目：代数方程
主条目：多项式
代数方程又称为多项式方程。令某多项式等于零可得一个多项式方程，例如：
利用勘根法可以找出某个代数方程的解；但若是代数方程组则较为复杂，有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解（见希尔伯特零点定理）。即使如此，对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言，我们已经找到解的方法，并且也已充分了解这种系统的行为。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环，而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝 [2]。
若描述一个系统的微分方程是非线性的，则称此系统为非线性系统。含有非线性微分方程的问题，系统彼此间的表现差异极大，而每个问题的解法或是分析方法也都不一样。非线性微分方程的例子如流体力学的纳维-斯托克斯方程，以及生物学的洛特卡－沃尔泰拉方程。
解非线性问题最大的难处在于找出未知的解：一般来说，我们无法用已知的解来拼凑出其他满足微分方程的未知解；而在线性的系统里，却可以利用一组线性独立的解，透过叠加原理组合出此系统的通解。例如满足狄利克雷边界条件的一维热传导问题，其解（时间的函数）可以写成许多不同频率之正弦函数的线性组合，而这也让它的解很弹性、具有很大的变化空间。通常我们可以找到非线性微分方程的特解，但由于此时叠加原理并不适用，故无法利用这些特解来建构出其他新的解 [3]。
例如
这个方程式的通解为
而等号左边并不是u的线性映射。若把此式的u换成u，则会变成线性方程（指数衰减）。
分析常微分方程常用的方法包括：
- 利用泰勒展开式作线性近似。
- 利用变数变换法，改写成较易分析的方程。
- 分岔理论。
参见：非线性偏微分方程列表
研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换，变换以后的方程会较简单，甚至有可能会变成线性方程。有时候，变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程（如同用分离变数法解偏微分方程），不管这些常微分方程可不可解，都能帮助我们了解这个系统的行为。
另一个流体力学和热力学里常用的方法（但数学性较低），是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程，使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如，在描述一个圆管内一维层流的暂态时，我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程；这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件：一维和层流。
主条目：单摆
另一个解法是把这个非线性方程作线性近似：利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化，并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如，若在
近似后的方程变成了简谐振荡，因此当单摆运动到底部附近时，可以对应到一个简谐振子。而若在
这个方程的解含有双曲正弦函数，因此和小角度近似不同，这个近似是不稳定的，也就是说
另一个有趣的线性近似是在
这个近似后的方程可以对应到自由落体。
十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。
十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。
非线性方程书籍十三世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。
1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。
1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。
1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。
十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。
1614年，英国的耐普尔制定了对数。
1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。
1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。
1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。
1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。
1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。
1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。
1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。
1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。
1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。
1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。
1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。
1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。
1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。
1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。
1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。
1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。
1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。
1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。
1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。
