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鞅

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数学名词

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鞅 (英: martingale) 是关于金融资产价格的最古老的模型，它起源于赌博业和概率论，若随机变量序列{Xn}n≥0满足下述条件：

对任意n≥0,

E[ Xn+1 | X0，... ，Xn] = Xn

则称{Xn}n≥0是关于自身的鞅:

中文名: 鞅

外文名: Martingale
所属学科: 统计学、概率论、金融数学、金融学

定义

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鞅是一类特殊的随机过程。起源于对公平赌博过程的数学描述。鞅是满足如下条件的随机过程：在已知过程在时刻

协谅删之前的变化规律的条件下，过程在将来某一时刻t的期望值等于过程在时刻

的值。例如屑采夜，用

表示某嚷嘱一赌徒在享旬旋公平赌博中

时刻所篮骗举拥有的本金，那么

为鞅，也就是说无论该赌徒在s乘驼时刻以后的赌博中如何利背壳盼用他归谅茅旬在

时刻之前所取得的经验，他所能期望在将来t时刻拥有的本金只能是

，这正是“公平性”的体现。P.莱维早在1935年就发表了一些孕育着鞅论的工作。1939年，莱维首次采用了鞅这个名称。但对鞅系统地进行研究并使它成为随机过程的一个重要分支的，则应归功于J.L.杜布。鞅已成为研究随机过程的一个有力工具。

离散鞅

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定义一：

随机变量序列

、

满足

, 如果对任意

, 有

则称

是关于

的鞅(martingale)。

定义二：

令

是

代数的序列，如果满足

则称

是一个过滤(filtration)。给定一个过滤

，令

是使得

是

-可测的随机过程，如果对任意

, 有

则称

是关于

的鞅。

连续鞅

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如果一个连续时间的随机过程Xt 满足以下条件：

（1）

（2）

即，已知至时间s的所有信息，则某时刻

的条件期望值为

时刻的值。

如果一个序列

是关于

的鞅，则应满足：

（1）

（2）

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