韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。 [1]
法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 [2]由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。 [3]
- 中文名
- 韦达定理
- 外文名
- Vieta theorem
- 提出者
- 弗朗索瓦·韦达
- 提出时间
- 1615年
- 适用领域
- 方程论 初等数学 解析几何 三角
- 应用学科
- 数学代数
设一元二次方程
由一元二次方程求根公式知：
则有：
如果两数α和β满足如下关系：α+β=
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。 [5]
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理：
设复系数一元n次方程
即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以（-1）n
注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成
公元前 2000 年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及。公元前 480 年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法。
公元 628 年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程 x2 + px + q = 0的一个求根公式。公元 820 年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在。同样可惜，他未认识到虚根这个概念。
16 世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库。
历史是有趣的，虽然韦达在 16 世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在 1799 年才被高斯第一次实质性地论证。1615年，韦达生前写成的《论方程的整理与修正》一书出版 [11]。书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。 [7]
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。 [1]
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。 [8]
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。 [9-10]
