同义词sin(函数名称)一般指正弦
正弦=股长/阿雅格燥弦长
按现代说法,正弦是直角三角形的对边与斜边之比。
sin = 直角愉嚷判三角形的对边/斜边.
如图1,陵习斜边为r,对边为y,邻边为a。斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r
无论a,y,r为何值,正弦值恒大于等于0小于等于1,即0≤sin≤1。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
即tanA=角A的对边/角A的邻边
即sinA=角A的对边/角A的斜边
即cosA=角A的邻边/角A的斜边
一般地,在直角坐标系中,给定单位圆,对任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数,记作v=sinα。通常,用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表示函数值,这样就定义了任意角的三角函数y=sin x,它的定义域为全体实数,值域为[-1,1]。
表达式:f(x)=Asin(ωx+φ)
奇偶性:奇函数 [4]
sinα = tanα × cosα(即sinα / cosα = tanα)
cosα = cotα × sinα (即cosα / sinα = cotα)
tanα = sinα × secα (即 tanα / sinα = secα)
tanα × cotα = 1
sinα × cscα = 1
cosα × secα = 1
sinα / cosα = tanα = secα / cscα
sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ
sin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ + cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγ
cos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinα
tan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )
sin ( 2α ) = 2sinα · cosα [1]
sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin3 ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )
sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )
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sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )
(sinx)' = cosx
(cosx)' = ﹣ sinx
关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明:
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆,该斜平面与水平面的夹角为α,截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到
f(c)=r tanα sin(c/r)
r:圆柱半径
α:椭圆所在面与水平面的角度
c:对应的弧长(从某一个交点起往某一个方向移动)
以上为证明简要过程,则椭圆(x*cosα)^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的,而一个周期T=2πr,正好为一个圆的周长。
早在公元2世纪,正弦定理已想为古希腊天文学家托勒密(C.Ptolemy)所知。中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj,973一1048)也知道该定理。但是,最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲,犹太数学家热尔松在其《正弦、弦与弧》中陈述了该定理:“在一切三角形中,一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”,但他没有给出清晰的证明。15世纪,德国数学家雷格蒙塔努斯在《论各种三角形》中给出了正弦定理,但简化了纳绥尔丁的证明。1571年,法国数学家韦达(F.Viete,1540一1603)在其《数学法则》中用新的方法证明了正弦定理。之后,德国数学家毕蒂克斯(B.Pitiscus,1561—1613)在其《三角学》中沿用韦达的方法来证明正弦定理 [2]。
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。
由于正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦,因此正弦函数满足微分方程:
用其他三角函数的表示
函数 | ||||||
两角和的正弦
二倍角公式
三倍角公式
半角公式
万能公式