Toán học cơ sở
Nghiên cứu toàn bộ toán học lý luận cơ sở và tương quan vấn đề ngành học
Triển khai2 cái cùng tên mục từ
Toán học cơ sở( Foundation of Mathematics ), là nghiên cứu toàn bộ toán học lý luận cơ sở và tương quan vấn đề một cái chuyên môn ngành học, tức nghiên cứu toán học cơ sở, trả lời “Toán học là cái gì?”, “Toán học cơ sở là cái gì?”, “Toán học hay không hài hòa?” Từ từ một ít toán học thượng căn bản vấn đề ngành học. Đối vớiTrực giác chủ nghĩa,Logic chủ nghĩaCùng bệnh hình thức dị đồng, có thể ngược dòng đến cận đại triết học giaKhang đứcĐối số học bản chất tự hỏi. Khang đức cho rằngSố họcĐến từTrước nghiệmChủ thể đối thời gian thuần hình thứcTrực quan,Bao nhiêu còn lại là đốiKhông gianThuần hình thức trực quan. Này thực chất thượng là một loại từ chủ quan mà khách quan ý nghĩ. Khang đức tư tưởng sau lại lại ởHồ SerreNơi đó được đến kế thừa cùng phát triển. Hồ Serre chính là từ suy xét “Số ở nơi nào” vấn đề đưa ra hiện tượng học hoàn nguyên phương pháp.
- Tiếng Trung danh
- Toán học cơ sở
- Ngoại văn danh
- Foundation of Mathematics
- Phân loại
- Toán học
- Công có thể
- Nghiên cứu toàn bộ toán học lý luận cơ sở
- Ba loại chủ nghĩa
- Trực giác chủ nghĩa, logic chủ nghĩa cùng bệnh hình thức
- Tương quan
- Toán học nguy cơ
Toán học cơ sở ( Foundatio đánh giá bếp n of Mathematics ) là nghiên cứu toàn bộ toán học lý luận cơ sở và tương quan vấn đề một cái chuyên môn ngành học, tức nghiên cứu toán học cơ sở, trả lời “Toán học là cái gì?”, “Toán học cơ sở là cái gì?”, “Toán học hay không hài hòa?” Từ từ một ít toán học thượng căn hộ đóa bổn vấn đề ngành học. Đối với trực giác chủ nghĩa,Logic chủ nghĩaCùngBệnh hình thứcDị đồng, có thể ngược dòng đến cận đại triết học gia dời cảnh thuyền khang đức đối số học bản chất tự hỏi.
Khang đức cho rằng số học đến từ trước nghiệm chủ thể đối thời gian thuần hình thức trực quan, bao nhiêu còn lại là đối không gian thuần hình thức trực quan. Này thực chất thượng là một loại từ chủ quan mà khách quan ý nghĩ. Khang đức tương thăm nhiệt tư lượng khương tưởng sau lại lại ở hồ Serre nơi đó được đến kế thừa cùng phát triển. Hồ Serre chính là từ suy xét “Số bếp mao đoạn giới bảng khương thừa ở đâu chiến chiếu thành phố” vấn đề đưa ra hiện tượng học hoàn nguyên phương pháp.
Đối với toán học cơ sở chú ý cùng nghiên cứu, nhưng ngược dòng đến cổ đại. Nhưng ở so lớn lên lịch sử giai đoạn trung, chỉ giới hạn trong đối đơn khoa toán học chi nhánh cơ sở thảo luận. Đến nỗi làm toàn bộ toán học lý luận cơ sở thăm dò, đặc biệt là “Toán học cơ sở” làm một môn chuyên môn ngành học hình thành cùng ra đời, chính là 20 thế kỷ sơ sự. Lúc ấy cũng là bởi vì nhiều loại nhân tố cùng nghiên cứu hoạt động hội hợp, đặc biệt là ở làm toàn bộ kinh điển toán học chi lý luận cơ sở tập hợp luận trung xuất hiện nghịch biện lúc sau, mới đem toán học cơ sở vấn đề nghiên cứu đẩy hướng cao trào, đồng tiến một bước xúc tiến toán học triết học phát triển, cho đến cuối cùng trở thành 20 thế kỷ toán học trong lĩnh vực thâm nhập nghiên cứu hoạt động chi nhất.
Euclid 《 bao nhiêu nguyên bản 》 trung dịch bản
Vi phân và tích phân cơ sở đặt móng người chi nhất, nước Pháp toán học gia kha tây
Anh quốc toán học gia, logic học giả RussellĐúng là ở như vậy lịch sử bối cảnh hạ, “Toán học cơ sở luận” này một toán học phân khoa ở 20 thế kỷ sơ ra đời, bãi ở làm toán học cơ sở vấn đề nghiên cứu toán học gia trước mặt hàng đầu nhiệm vụ, chính là như thế nào vì toán học hữu hiệu tính một lần nữa thành lập đáng tin cậy căn cứ. Bởi vì tại đây một công tác trung sở cầm cơ bản quan điểm bất đồng, đến nỗi ở toán học cơ sở nghiên cứu trung hình thành như làLogic chủ nghĩa phái,Trực giác chủ nghĩa phái,Bệnh hình thức phái chờ bất đồng lưu phái. Về phương diện khác, ở như thế nào tránh cho nghịch biện nghiên cứu trung, trực tiếp dẫn tới làm bài trừ nghịch biện quan trọng phương án chi nhất cận đạiCông lý tập hợp luậnPhát triển, ở cận đại công lý tập hợp luận trung, có thể đối trong lịch sử đã xuất hiện chi logic toán học nghịch biện nhất nhất cấp ra giải thích phương pháp, tức bảo đảm này đó nghịch biện không ở cận đại công lý tập hợp luận trung xuất hiện, đồng thời cho tới nay cũng chưa phát hiện có tân nghịch biện ở hệ thống nội xuất hiện, nhưng lại không thể từ lý luận thượng chứng minh cận đại công lý tập hợp luận ở sau này triển khai trung vĩnh viễn sẽ không xuất hiện mâu thuẫn. Cho nên cận đại công lý tập hợp luận tương đối với khang ThorCổ điển tập hợp luậnMà nói, vì toàn bộ kinh điển toán học cung cấp một cái tương đối vững chắc lý luận cơ sở. Còn ứng chỉ ra, cận đại công lý tập hợp luận là dừng chân với sửa chữa khang Thor khái quát nguyên tắc mà đi thực hiện tránh cho nghịch biện xuất hiện.
Nước Mỹ khống chế luận chuyên gia trát đức[1]20 thế kỷ 60 niên đại, nước Mỹ khống chế luận chuyên gia trát đức (Zadeh, L.A.) minh xác đưa ra phải dùng toán học thủ đoạn cùng phương pháp đi xử lý những cái đó vì kinh điển toán học sở cự tuyệt nghiên cứu mơ hồ hiện tượng, cũng bởi vậy sáng lậpMơ hồ toán học.Này tiêu chí nước cờ học phát triển đã tiến vào toán học nghiên cứu đối tượng từ chính xác tính đến mơ hồ tính lại mở rộng thời đại.20 thế kỷ hậu kỳ, mơ hồ toán học phát triển nhanh chóng, ứng dụng phạm vi cực kỳ rộng lớn. Nhưng ở về phương diện khác, mơ hồ toán học cũng đồng dạng gặp phải một cái như thế nào đặt này lý luận cơ sở vấn đề. Giải quyết này một đặt móng vấn đề phương án giống như hạ ba loại: Thứ nhất là đem mơ hồ toán học trực tiếp hoặc gián tiếp mà đặt móng với cận đại công lý tập hợp luận, nhưng như vậy phát triển lên mơ hồ toán học chỉ có thể trở thành kinh điển toán học chi nhánh, mà không thể ở càng cao hình thức hạ bao gồm kinh điển toán học; thứ hai là vì mơ hồ toán học thành lập nó sở đặc có công lý tập hợp luận hệ thống; thứ ba là mở rộng chính xác tính kinh điển toán học logic cơ sở cùng tập hợp luận cơ sở, ở toán học cơ sở lý luận ý nghĩa hạ giải quyết mơ hồ gọi từ tạo tập vấn đề, lấy cầu có thể vì chính xác tính kinh điển toán học cùng tương lai không xác định tính toán học ( ứng ở nội dung cùng phương pháp thượng có khác với trát đức mơ hồ toán học ) cung cấp một cái cộng đồng lý luận cơ sở.
Cuối cùng còn ứng đặc biệt nhắc tới cùng toán học cơ sở luận phát triển có chặt chẽ quan hệ một cái khác nghiên cứu lĩnh vực, đây là làm toán học cùng triết học chi gian bên cạnh ngành học toán học triết học. Toán học triết học cùng triết học chặt chẽ tương quan, nhưng lại cùng toán học phát triển trung những cái đó có nhất phổ biến ý nghĩa đầu đề có chặt chẽ quan hệ. Đương nhiên, đối với toán học triết học nghiên cứu, vô luận là phương đông hoặc phương tây, đều nhưng ngược dòng đến cổ đại, nhưng ở rất dài lịch sử giai đoạn trung, toán học triết học lại chỉ là làm tự nhiên triết học một bộ phận mà không thể hình thành độc lập ngành học. Thẳng đến 19 cuối thế kỷ cùng 20 thế kỷ sơ, bởi vì toán học cơ sở luận ra đời cùng phát triển, bởi vì bức thiết yêu cầu thâm nhập nghiên cứu toán học trong lĩnh vực những cái đó có chứa cực đoan phổ biến cùng căn bản tính vấn đề, mới thúc đẩy toán học triết học nghiên cứu ngày càng chuyên môn hóa, mà cuối cùng hình thành độc lập ngành học. Đặc biệt là hiện đại toán học bồng bột phát triển, lại đưa ra một loạt khắc sâu toán học triết học vấn đề, khiến toán học triết học này một ngành học tiến thêm một bước xu hướng toàn diện phồn vinh giai đoạn. Cho nên, toán học triết học đã là một cái cổ xưa nghiên cứu lĩnh vực, lại là một môn tuổi trẻ mới phát ngành học. Này một ngành học nghiên cứu giá trị cùng ở toán học phát triển trung tác dụng ngày càng rõ ràng, đặc biệt là vềToán học nhận thức luận,Toán học phương pháp luận, cùng với toán học phát triển quy luật nghiên cứu, có rất nhiều khắc sâu đầu đề còn chờ với mọi người đi thâm nhập thăm dò. Toán học triết học nghiên cứu bao gồmToán học bản thể luận,Toán học nhận thức luận, toán học phương pháp luận, toán học phát triển ngoại tại nhân tố, toán học phát triển quy luật cùng với toán học triết học gia bất đồng lưu phái cùng quan điểm chờ phương diện. Toán học triết học nghiên cứu đem đối số học công tác giả thế giới quan, tư tưởng phương pháp, nghiên cứu hứng thú cùng nghiên cứu lực lượng phân bố, thậm chí toán học nghiên cứu cơ bản xu thế, đều sẽ sinh ra trọng đại ảnh hưởng.[2]
Toán học thượng, toán học cơ sở một từ có đôi khi dùng cho toán học riêng lĩnh vực, tỷ nhưSố lý logic,Công lý hóa tập hợp luận,Chứng minh luận,Mô hình luận,CùngĐệ quy luận.Nhưng là tìm kiếm toán học cơ sở cũng là toán học triết học trung tâm vấn đề: Ở cái gì chung cực cơ sở thượngMệnh đềCó thể xưng là thật? Chiếm thống trị địa vị toán học phạm thức là căn cứ vào công lý hóa tập hợp luận cùngLogic hình thức.Trên thực tế, sở hữu toán học định lý đều có thể dùng tập hợp luận định lý thuyết minh. Toán học mệnh đề chân thật tính ở cái này quan điểm hạ, bất quá chính là nên mệnh đề có thể từTập hợp luận công lýSử dụng logic hình thức suy luận ra tới.
Cái này hình thức hóa phương pháp không thể giải thích một ít vấn đề: Vì cái gì chúng ta lựa chọn chúng ta sở dụng mà không phải mặt khác công lý, vì cái gì chúng ta sử dụng chúng ta sở dụng logic quy tắc mà không phải mặt khác, vì cái gì "Thật" toán học mệnh đề ( tỷ như, tính toánPeano công lý) ở vật lý thế giới tựa hồ là thật sự. Này bị Eugene Wigner ở 1960 năm gọi là “Toán học ở khoa học tự nhiên trung không lý do hữu hiệu tính” (The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences).
Kể trên hình thức hóa chân thật tính cũng có thể hoàn toàn không có ý nghĩa: Hoàn toàn khả năng sở hữu mệnh đề, bao gồm tự mâu thuẫn mệnh đề, đều có thể từ tập hợp luận công lý đạo ra. Hơn nữa, làm Goethe ngươi đệ nhị định lý bất toàn một cái kết quả, chúng ta vĩnh viễn không có khả năng biết sự tình có phải hay không chính là như vậy.
ỞToán học chủ nghĩa hiện thực( có khi cũng kêuPlato chủ nghĩa) trung, độc lập với nhân loạiToán học đối tượngThế giới tồn tại tính bị làm một cái cơ bản giả thiết; này đó đối tượng chân thật tính từ nhân loại phát hiện. Tại đây loại quan điểm hạ, tự nhiên định luật cùng toán học định luật có đồng dạng địa vị, mà "Hữu hiệu tính" không hề "Không lý do". Không chỉ có là chúng ta công lý, hơn nữa là toán học đối tượng chân thật thế giới cấu thành cơ sở. Như vậy, rõ ràng vấn đề ở chỗ, chúng ta như thế nào tiếp xúc thế giới này?
Một ít toán học triết học hiện đại lý luận không thừa nhận cơ sở ở này nguyên thủy ý nghĩa thượng tồn tại tính. Có chút lý luận có khuynh hướng ngắm nhìn với toán học thực tiễn, đem mục tiêu giả thiết với miêu tả cùng phân tích toán học gia làmXã giao quần thểChân thật công tác. Mặt khác ý đồ sáng tạo một cáiToán học nhận tri khoa học,Ngắm nhìn với đem nhân loại nhận tri làm toán học ứng dụng đến "Thế giới hiện thực" khi đáng tin cậy tính khởi điểm. Này đó lý luận kiến nghị chỉ ở nhân loại tự hỏi trung tìm được cơ sở, mà không phải bất luận cái gì "Khách quan" ngoại tại cấu tạo. Cái này chủ đề vẫn luôn rất có tranh luận tính.
Lần đầu tiên là công nguyên trước 5 thế kỷPitago học pháiHi khăn tác tưPhát hiện không thể cộng độĐoạn thẳng:Hình vuông một bên cùng với đường chéo không thểCông độ,Tức phát hiện không phải số hữu tỷ. Lần này nguy cơ dẫn tớiSố vô nghĩaCập bao nhiêu công lý hệ thống thành lập ——EuclidBao nhiêu nguyên bản ra đời.
Cứ việc nguyên bản còn không phải nghiêm khắc công lý hệ thống, nhưng nó đầy đủ cho thấy trực quan, kinh nghiệm không thể toàn tin, mấy ngàn năm tới đối hình học nghiên cứu, đặc biệt là sau lại đối Hình học phi Euclid nghiên cứu thúc đẩy hình học đi hướng nghiêm khắc công lý hóa. Nghiêm khắc công lý hóa bao nhiêu chính là bao nhiêu cơ sở cũng là toán học cơ sở một bộ phận.
17 thế kỷ phần sau kỳ I. Newton cùng G.W.Lai bố ni tưSáng lập vi phân và tích phân học, nhưng bọn hắn đối vô cùng tiểu nhân giải thích rất khó lệnh người vừa ý, Anh quốc giáo chủ G.BerkeleyCông kích ngay lúc đóVi phân và tích phân,Chỉ ra nó ở logic thượng có rõ ràng vấn đề, này đó làLần thứ hai toán học nguy cơ.Lần này nguy cơ xuất hiện sử toán học gia nhóm ý thức được không vì vi phân và tích phân thành lập vững chắc cơ sở, chỉ tiến hành giải toán là không được.
19 thế kỷ A.LKha tây,K.Ngụy ngươi StrathChờ sáng lập cực hạn luận, lấy cực hạn làm cơ sở thành lập vi phân và tích phân học. A. Lỗ tân tôn với 1960 năm sáng lậpPhi tiêu chuẩn phân tích,ĐemSố thực vựcMở rộng đến bao hàm vô cùng tiểu cùng vô cùng đạiSiêu số thựcVực, giải quyết viên mãn “Vô cùng tiểu nhân mâu thuẫn” vấn đề. Cùng lúc đó, truyền thống logic phát triển vìSố lý logic.Số lý logic là toán học cơ sở quan trọng nội dung.
Toán học thượng lần thứ ba nguy cơ giống nhau cho rằng bắt đầu từ 1902 năm B.A.W. Russell phát hiện nghịch biện, hậu nhân xưng cái này nghịch biện vìRussell nghịch biện:Lấy S tỏ vẻ sở hữu không lấy tự thân vì nguyên tốTập hợpToàn thể. Dựa theo tập hợp luận khái quát nguyên tắc ( cấu thành tập hợp nguyên tắc ), S hẳn là một cái tập hợp. Hỏi S hay không là S một cái nguyên tố? Nếu S∈S, tắc dựa theo S định nghĩa ứng có SS; nếu SS, tắc ấn S định nghĩa lại ứng có S∈S. Vô luận loại nào tình huống đều dẫn tới mâu thuẫn. Russell nghịch biện dao động tập hợp luận, cũng dao động lúc ấy toán học cơ sở.
Bởi vì Russell nghịch biện chỉ đề cập cơ bản nhất tập hợp luận khái niệm: Tập hợp, nguyên tố, thuộc về cùng khái quát nguyên tắc, nó cấu thành thập phần rõ ràng minh bạch. Cái này nghịch biện xuất hiện thuyết minh dĩ vãng mộc mạc tập hợp luận trung bao hàm mâu thuẫn, cho nên lấy tập hợp luận làm cơ sở toàn bộ toán học liền không thể không có mâu thuẫn. Cái này nghịch biện cũng đồng thời thuyết minh toán học trung chọn dùng logic cũng không phải không có vấn đề. Toán học thượng lần thứ ba nguy cơ sử toán học giới cùng logic giới giáo dục đều cảm thấy vấn đề nghiêm trọng tính. Russell nghịch biện cho thấy không thể vô điều kiện thừa nhận khái quát nguyên tắc, nhưng mà khái quát nguyên tắc thay đổi đem sử tập hợp luận thay đổi rất nhiều, bởi vậy đối toàn bộ toán học ảnh hưởng là thật lớn.
Tập hợp luận trung bao hàm mâu thuẫn sự thật này, trên thực tế hơi sớm trước kia đã phát hiện. Mộc mạc tập hợp luận người sáng lập G. Khang Thor, 1895 năm liền phát hiện “Lớn nhấtSố thứ tựNghịch biện” ( sở hữu số thứ tự tập hợp có lớn hơn nữa số thứ tự ); 1899 năm hắn lại phát hiện “Lớn nhất số đếm nghịch biện” ( sở hữu tập hợp tập hợp có lớn nhất số đếm, nhưng từ cái này tập hợp hết thảyTử tậpCấu thành tập hợp có lớn hơn nữa số đếm ). Đối với này hai cái nghịch biện lúc ấy mọi người cũng cảm thấy giật mình, nhưng cho rằng đây là tập hợp luận trung một ít tính kỹ thuật vấn đề, chỉ cần làm một ít kỹ thuật cải tiến liền nhưng tiêu trừ, bởi vậy không có khiến cho mọi người cực đại chú ý[3].
Ba lầnToán học nguy cơPhát sinh là toán học thâm nhập phát triển kết quả, rất nhiều toán học gia vì tiêu trừ nguy cơ làm không ngừng nỗ lực. Này đó nỗ lực xúc tiến toán học phát triển, đặc biệt là xúc tiến toán học cơ sở nghiên cứu. Trong đó lần thứ ba nguy cơ đối số học ảnh hưởng lớn hơn nữa. Mọi người công nhận tập hợp luận là toán học cơ sở, ở toán học trung có rộng khắp ứng dụng, bất luận cái gì một môn toán học đều không rời đi nó.
Hình học phi Euclid họcHài hòa tính quy kết vìHình học EuclidHọc hài hòa tính; Hình học Euclid học hài hòa tính lại quy kết vì số thực hệ thống hài hòa tính; mà số thực hệ thống hài hòa cuối cùng quy kết vì tập hợp luận hài hòa tính. Nhưng tập hợp luận là có mâu thuẫn.Lần thứ ba toán học nguy cơBắt đầu khi, rất nhiều toán học gia đối tập hợp luận cải tạo cầm bàng quan thái độ, cho rằng nhưng từLogic học giảĐi thảo luận. Sau lại phát hiện như vậy không thể thực hiện được, bởi vì ở toán học luận chứng trung mỗi người cần thiết chọn dùng mỗ nhất phái quan điểm, vô pháp lảng tránh.
Tự Russell nghịch biện phát hiện tới nay, đối số học cơ sở nghiên cứu có ba cái chủ yếu bè phái:Logic chủ nghĩa,Bệnh hình thức cùngTrực giác chủ nghĩa.
Hoài đặc hảiNếu không có này hai điều công lý liền vô pháp suy luận ra toàn bộ số học, càng không cần phải nói toàn bộ toán học. Đương nhiên, Russell công lý hệ thống đầy đủ phát triển số lý logic công lý hệ thống, hơn nữa tại đây cơ sở thượng triển lãm phong phú toán học nội dung, đối số lý logic cùng toán học cơ sở nghiên cứu nổi lên cực đại thúc đẩy tác dụng, cống hiến là rất lớn.
Bố lao WillBọn họ phản đối ở vô cùng tập hợp trung sử dụng luật bài trung. Bọn họ không thừa nhậnThật vô cùngThể, cho rằng vô cùng là tiềm tàng, chẳng qua là vô hạn tăng trưởng khả năng tính. Nhưng cấu tạo tính đối số lý logic cập tính toán kỹ thuật phát triển có quan trọng tác dụng. Nhưng trực giác chủ nghĩa sử toán học trở nên phi thường rườm rà phức tạp. Mất đi toán học mỹ, cho nên không bị đại đa số toán học gia tiếp thu.
HilbertỞ toán học cơ sở nghiên cứu trung, lỗ tân tôn, P.J. Khoa ân tự xưng vì bệnh hình thức giả ( Hilbert bản nhân không cho rằng chính mình là bệnh hình thức giả ), bọn họ cho rằng toán học sở nghiên cứu bất quá là một ít không hề nội dung ký hiệu hệ thống, “Vô cùng tập”, “Vô cùng chỉnh thể” chờ ở khách quan thượng là không tồn tại. Hilbert thiết tưởng tuy rằng không có thực hiện, nhưng lại sáng lậpChứng minh luận,Lại xúc tiếnĐệ quy luậnPhát triển, bởi vậy đối số học cơ sở nghiên cứu có rất lớn cống hiến.
Cổ đại bởi vì khoa học kỹ thuật phát triển trình độ hạn chế, không cần chuyên môn nghiên cứu toán học cơ sở, loại tình huống này vẫn luôn liên tục đếnNewton,Lai bố ni tưSáng lậpVi phân và tích phânThời đại.Hình học phi EuclidXuất hiện làm mọi người ý thức được cần thiết vì toán học thành lập không ỷ lại với trực quan cơ sở, cần thiết nghiên cứu toán học đáng tin cậy tính, đặc biệt là vô mâu thuẫn tính, vôCông độĐoạn thẳngTồn tại cập tập hợp luận nghịch biện thuyết minh mọi người không thể chỉ dựa vào trực quan, mà cần thiết vì toán học thành lập nghiêm khắc logic cơ sở, giải quyết toán học triết học cơ sở vấn đề. Bởi vậy toán học cơ sở là bao gồmTriết học phương pháp luậnCùng logic chờ chư phương diện vấn đề ngành học, toán học cơ sở hiện đã hình thành toán học quan trọng chi nhánh chi nhất.
( bổn văn biên tập: Kỳ đông )
《Cổ kim toán học tư tưởng》 thư trung ( đệ tứ sách 289 trang ) chỉ ra: Hai mươi thế kỷ toán học trung nhất thâm nhập hoạt động, sử về cơ sở tham thảo, áp đặt với toán học gia vấn đề, cùng với bọn họ tự nguyện gánh vác vấn đề, không chỉ có liên lụy tới toán học bản chất, cũng liên lụy tới suy diễn toán học chính xác tính.
Tại đây thế kỷ giai đoạn trước, có vài loại hoạt động hội hợp lên đem cơ sở vấn đề dẫn tới một cái cao trào, đầu tiên là mâu thuẫn phát hiện, uyển chuyển mà được xưng là nghịch biện, ở tập hợp luận trung đặc biệt xông ra.…….
《 cổ kim toán học tư tưởng 》 thư trung ( đệ tứ sách 290 trang ) chỉ ra: “Thợ cắt tóc nghịch biện”, Russell ở 1918 năm đem một cái nghịch biện thông tục hóa thành vì “Thợ cắt tóc nghịch biện”,Một cái nông thôn thợ cắt tóc, khoe khoang không người nhưng cùng so sánh với, tuyên bố hắn đương nhiên không cho chính mình cạo mặt người cạo mặt, nhưng lại cấp sở hữu chính mình không cạo mặt người cạo mặt, một ngày hắn đã xảy ra nghi vấn, hắn hay không hẳn là cho chính mình cạo mặt, nếu chính hắn cạo mặt nói, tắc ấn hắn nói rõ trước một nửa, hắn liền không hẳn là cho chính mình cạo mặt; nhưng là nếu chính hắn không cạo mặt nói, tắc chiếu hắn khoe khoang, hắn lại cần thiết cho chính mình cạo mặt, này thợ cắt tóc lâm vào logic quẫn cảnh.
