Tô-pô (topology), là nghiên cứu hình hình học hoặc không gian ở liên tục thay đổi hình dạng sau còn có thể bảo trì bất biến một ít tính chất ngành học. Nó chỉ suy xét vật thể gian vị trí quan hệ mà không suy xét chúng nó hình dạng cùng lớn nhỏ. Ở tô-pô, quan trọng Topology tính chất bao gồmLiên thông tínhCùng khẩn trí tính.
Topology tiếng Anh danh là Topology, dịch thẳng là “Địa chí học”,Sớm nhất chỉ nghiên cứu địa hình, địa mạo tương cùng loại có quan hệ ngành học. Tô-pô là từ hình học cùng tập hợp luận phát triển ra tới ngành học, nghiên cứuKhông gian,Duy độCùng biến hóa chờ khái niệm. Này đó từ ngữ nơi phát ra nhưng ngược dòng đến Gothic Phật lai đức ·Lai bố niTì, hắn ở 17 thế kỷ đưa ra “Vị trí hình học” ( geometria situs ) cùng “Vị tương phân tích” ( analysis situs ) cách nói.Leon ha đức · Âu kéoKha Nice bảoBài toán bảy cây cầuCùngÂu kéo kỳ tính sốBị cho rằng là nên lĩnh vực lúc ban đầu định lý.
Tô-pô một ít nội dung sớm tại mười tám thế kỷ liền xuất hiện, sau lại ở tô-pô hình thành trung chiếm quan trọng địa vị.[1]
- Tiếng Trung danh
- Tô-pô
- Ngoại văn danh
- Topology
- Sáng lập giả
- Henry · Poincaré
- Phân loại
- Toán học
- Tương quan
- Bài toán bảy cây cầu,Bốn màu vấn đề
- Đề ra
- Leibniz
- Đua âm
- tuò pū xué
Mục lục
- 1Ngành học khởi nguyên
- ▪Bài toán bảy cây cầu
- ▪Định lý Euler
- ▪Bốn màu vấn đề
- 2Ngành học tóm tắt
- ▪Đồng giá
- ▪Tính chất
- 3Phát triển giản sử
- ▪Nảy sinh
- ▪Điểm tập Topology
- ▪Đại số Topology
- ▪Cùng luân luận
- ▪Vi phân Topology
- ▪Siêu đạo hiện tượng
- 4Ngành học ảnh hưởng
Có quan hệ tô-pô một ít nội dung sớm tại mười tám thế kỷ liền xuất hiện. Khi đó phát hiện một ít cô lập vấn đề. Sau lại ở tô-pô hình thành trung chiếm quan trọng địa vị. Thí dụ như ca Nice bảo Bài toán bảy cây cầu, hình đa diệnĐịnh lý Euler,Bốn màu vấn đề chờ đều là tô-pô phát triển sử vấn đề quan trọng.
Đồ 1 Bài toán bảy cây cầuCó quan hệ đồ luận nghiên cứu nhiệt điểm vấn đề. 18 thế kỷ sơ Phổ ca Nice bảo, có một cái hà xuyên qua, trên sông có hai cái tiểu đảo, có bảy tòa kiều đem hai cái đảo cùng bờ sông liên hệ lên. Có người đưa ra một vấn đề: Một cái người đi bộ như thế nào mới có thể không lặp lại, không để sót mà một lần đi xong bảy tòa kiều, cuối cùng trở lại điểm xuất phát. Sau lại đại toán học gia Âu kéo đem nó chuyển hóa thành một cái bao nhiêu vấn đề —— một nét bút vấn đề. Hắn không chỉ có giải quyết này vấn đề, thả cấp ra liên thông đồ có thể một nét bút sung muốn điều kiện là: Kỳ điểm số lượng không phải 0 cái chính là 2 cái ( liền đến một chút số lượng như thế số lẻ điều, liền xưng là kỳ điểm, nếu là số chẵn điều liền xưng là ngẫu nhiên điểm, nếu muốn một nét bút thành, cần thiết trung gian điểm đều là ngẫu nhiên điểm, cũng chính là có lai lịch tất có một khác điều đường đi, kỳ điểm chỉ khả năng ở hai đoan, bởi vậy bất luận cái gì đồ có thể một nét bút thành, kỳ điểm hoặc là không có hoặc là ở hai đoan )[2]
Đồ 2 tô-pôCăn cứ hình đa diệnĐịnh lý Euler,Có thể đến ra như vậy một cái thú vị sự thật: Chỉ tồn tại năm loại đang đông mặt thể. Chúng nó làChính tứ phía thể,Chính sáu mặt thể,Chính khối bát diện,Chính mười hai mặt thể,Chính hai mươi mặt thể.
Trứ danh “Bốn màu vấn đề” cũng là cùng tô-pô phát triển có quan hệ vấn đề, lại xưng bốn màu phỏng đoán. 1852 năm, tốt nghiệp ở Luân Đôn đại học phất nam Sith. Cách tư đi vào một nhà nghiên cứu khoa học đơn vị làm bản đồ tô màu công tác khi phát hiện: Mỗi bức bản đồ đều có thể dùng bốn loại nhan sắc tô màu, khiến cho có cộng đồng biên giới quốc gia đều bị thượng bất đồng nhan sắc.
1872 năm, Anh quốc lúc ấy nổi tiếng nhất toán học giaKhải LợiChính thức hướng Luân Đôn toán học học được đưa ra vấn đề này, vì thế bốn màu phỏng đoán thành thế giới toán học giới chú ý vấn đề. 1976 năm, nước Mỹ toán học gia A Bội ngươi cùngHa chịuỞ nước Mỹ Illinois đại học hai đài bất đồng máy vi tính thượng, dùng 1200 tiếng đồng hồ, làm 100 trăm triệu loại phán đoán, rốt cuộc hoàn thành bốn màu định lý chứng minh. Bất quá không ít toán học gia cũng không thỏa mãn với máy tính lấy được thành tựu, bọn họ cho rằng hẳn là có một loại nói thẳng thanh thoát văn bảnChứng minh phương pháp.
TopologyNguyên ý vì địa mạo, khởi nguyên với Hy Lạp ngữ Τοπολογ. Hình thức thượng giảng, tô-pô chủ yếu nghiên cứu “Topology không gian” ở “Liên tục biến hóa” hạ bảo trì bất biến tính chất. Nói đơn giản, tô-pô là nghiên cứu liên tục tính cùng liên thông tính một toán học chi nhánh.
Tô-pô mới đầu kêu tình thế phân tích học, là nước Đức toán học giaLeibniz1679 năm đưa ra danh từ. Thế kỷ 19 trung kỳ, nước Đức toán học giaLê mạnỞ phục biến hàm số nghiên cứu trung cường điệu nghiên cứu hàm số cùng tích phân liền cần thiết nghiên cứu tình thế phân tích học. Từ đây bắt đầu rồi hiện đại tô-pô hệ thống nghiên cứu.
Ở tô-pô không thảo luận hai cái đồ hình toàn chờ khái niệm, nhưng là thảo luận Topology đồng giá khái niệm. Tỷ như, viên cùng hình vuông, hình tam giác hình dạng, lớn nhỏ bất đồng, nhưng ở Topology biến hóa hạ, chúng nó đều là đồng giá đồ hình; bóng đá cùng bóng bầu dục, cũng là đồng giá ---- từ tô-pô góc độ xem, chúng nóTopology kết cấuLà hoàn toàn giống nhau.
MàPhao bơiMặt ngoài cùng bóng đá mặt ngoài tắc có bất đồng Topology tính chất, tỷ như phao bơi trung gian có cái “Động”. Ở tô-pô trung, bóng đá sở đại biểu không gian gọi làMặt cầu,Phao bơi sở đại biểu không gian kêuHoàn mặt,Mặt cầu cùng hoàn mặt là “Bất đồng” không gian.
Đồ 3 Mobius mặt congMà nước Đức toán học giaMobius (1790～1868 ) ở 1858 năm phát hiệnMobius mặt cong.Loại này mặt cong không thể dùng bất đồng nhan sắc tới đồ mãn. Mobius mặt cong là một loại “Không thể định hướng” không gian. Nhưng định hướng tính là một loại Topology tính chất. Này ý nghĩa, không có khả năng đem một cái không thể định hướng không gian liên tục biến hóa thành một cái nhưng định hướng không gian.
Tô-pô mới đầu kêu tình thế phân tích học, đây là nước Đức toán học giaLeibniz1679 năm đưa ra danh từ.Âu kéoỞ 1736 năm giải quyết Bài toán bảy cây cầu, 1750 năm phát biểu hình đa diện công thức; cao tư 1833 năm ở chạy bằng điện cơ học có íchTuyến tích phânĐịnh nghĩa không gian trung hai điều phong bế đường cong vờn quanh số. Topology cái này từ là từ J.B. Lợi tư đình đưa ra ( 1847 ), nguyên tự Hy Lạp văn τόπος cùng λόγος ( “Vị trí” cùng “Nghiên cứu” ). Đây là tô-pô nảy sinh giai đoạn.
1851 năm, nước Đức toán học giaLê mạnỞ phục biến hàm số nghiên cứu trung đưa raLê mạn mặtBao nhiêu khái niệm, hơn nữa cường điệu vì nghiên cứu hàm số, nghiên cứu tích phân, liền cần thiết nghiên cứu tình thế phân tích học. Lê mạn bản nhân giải quyết nhưng định hướng bế mặt congCùng phôiPhân loại vấn đề.
Tổ hợp tô-pô đặt móng người là nước Pháp toán học giaPoincaré.Hắn là ởPhân tích họcCùng cơ học công tác trung, đặc biệt là về phục hàm sốĐơn giá trịHóa cùng về vi phân phương trình quyết định đường cong nghiên cứu trung, dẫn hướng tô-pô vấn đề. Hắn chủ yếu hứng thú ởLưu hình.Ở 1895～1904 trong năm, hắn sáng lập dùng mổ phân nghiên cứu lưu hình cơ bản phương pháp. Hắn tiến cử rất nhiều bất biến lượng: Cơ bản đàn, đồng điệu, Betty số, cào hệ số, tham thảo 3d lưu hình Topology phân loại vấn đề, đưa ra trứ danhGiả thuyết Poincare.
Tô-pô một khác sâu xa là phân tích học nghiêm mật hóa. Số thực nghiêm khắc định nghĩa thúc đẩyKhang ThorTừ 1873 năm khởi hệ thống mà triển khaiÂu thị không gianTrung điểm tập nghiên cứu, đến ra rất nhiều Topology khái niệm, như tụ điểm (Cực hạnĐiểm ),Khai tập,Bế tập, đông đúc tính, liên thông tính chờ. Ở điểm tập luận tư tưởng ảnh hưởng hạ, phân tích học trung xuất hiệnPhiếm hàm( tức hàm số hàm số ) quan niệm, đem hàm số tập xem thành một loại bao nhiêu đối tượng cũng thảo luận trong đó cực hạn. Này rốt cuộc dẫn tới trừu tượng không gian quan niệm.
Đồ 4 tô-pôÂu thị không gian trung điểm tập nghiên cứu, vẫn luôn là tô-pô quan trọng bộ phận, đã phát triển trở thành giống nhau tô-pô cùngĐại số tô-pôGiao hội lĩnh vực, cũng có thể coi nhưHình học Topology họcMột bộ phận. 50 niên đại tới nay, tức hỏi hai cái chiếu rọi, lấy R.H. Tân vì đại biểu nước Mỹ học phái công tác gia tăng đối lưu hình nhận thức, là hỏi hai cái cấp định chiếu rọi hay khôngCùng luân,Ở tứ duyGiả thuyết PoincareChứng minh trung phát huy tác dụng. TừPeano đường congKhiến cho duy số cậpLiên tục thốngNghiên cứu, thói quen thượng cũng xem thành giống nhau tô-pô chi nhánh.
L.E.J.Bố lao WillỞ 1910～1912 trong năm đưa ra dùng đơn thuần chiếu rọi tới gần liên tục chiếu rọi phương pháp, rất nhiều quan trọng bao nhiêu hiện tượng, dùng để chứng minh rồi bất đồng duy Âu thị không gian bất đồng phôi, chúng nó liền bất đồng phôi. Tiến cử cùng duy lưu hình chi gian chiếu rọi độ lấy nghiên cứu cùng luân phân loại, cũng khai sángBất động điểm lý luận.Hắn sử tổ hợp tô-pô ở khái niệm chính xác, luận chứng nghiêm mật phương diện đạt tới ứng có tiêu chuẩn. Ngay sau đó, J.W. Alexander 1915 năm chứng minh rồi Betty số cùng cào hệ số Topology bất biến tính.
Theo trừu tượng đại số hứng khởi, 1925 năm tả hữu A.E.Nặc đặcĐề nghị đem tổ hợp tô-pô thành lập ở đàn luận cơ sở thượng, ở nàng ảnh hưởng hạ H.Hoắc phổ phu1928 năm định nghĩa đồng điệu đàn. Từ đây tổ hợp tô-pô từng bước diễn biến thành lợi dụng trừu tượng đại số phương pháp nghiên cứu Topology vấn đềĐại số tô-pô.Như duy số, Âu kéo số, S. Ellen Berg cùng N.E. Tư đình la đức 1945 năm lấy công lý hóa phương thức tổng kết lúc ấyĐồng điệu luận,Sau viết thành 《 đại số tô-pô cơ sở 》(1952), đối với đại số tô-pô truyền bá, ứng dụng cùng tiến thêm một bước phát triển nổi lên thật lớn thúc đẩy tác dụng.
Bọn họ đem đại số tô-pô cơ bản tinh thần khái quát vì: Đem Topology vấn đề chuyển hóa vì đại số vấn đề, thông qua tính toán tới cầu giải. Thẳng đến hôm nay, đồng điệu luận sở cung cấpBất biến lượngVẫn là tô-pô trung nhất dễ dàng tính toán cùng nhất thường dùng bất biến lượng[3].
Cùng luân luận nghiên cứu không gian cùng với chiếu rọi cùng luân phân loại. W. Hách duy tì 1935～1936 trong năm tiến cử Topology không gian n duy cùng luân đàn, này nguyên tố là từ n duy mặt cầu đến nên không gian chiếu rọi cùng luân loại, một duy cùng luân đàn chính làCơ bản đàn.Cùng luân đàn cung cấp từ Topology đến đại số một loại khác quá độ, này bao nhiêu ý nghĩa so đồng điệu đàn càng rõ ràng, nhưng là rất khó tính toán. Cùng luân đàn tính toán, đặc biệt là mặt cầu cùng luân đàn tính toán vấn đề kích thích tô-pô phát triển, sinh ra muôn màu muôn vẻ lý luận cùng phương pháp. 1950 năm nước Pháp toán học giaSerreLợi dụng J. Lặc lôi vì nghiên cứuBó sợiĐồng điệu luận mà phát triển lên phổ danh sách cái này đại số công cụ, ở cùng luân đàn tính toán thượng lấy được đột phá.
Từ 50 niên đại mạt ở hình học đại số học cùng vi phân tô-pô ảnh hưởng hạ sinh ra K lý luận, cùng với mặt khác vài loại nghĩa rộng đồng điệu luận. Chúng nó đều là từ Topology đến đại số quá độ. Cứ việc bao nhiêu ý nghĩa các không giống nhau, đại số tính chất lại đều cùng đồng điệu hoặc thượng đồng điệu thập phần giống nhau, làĐại số tô-pôHữu lực vũ khí. Từ lý luận thượng cũng biết rõ, đồng điệu luận ( bình thường cùng nghĩa rộng ) bản chất là cùng luân luận một bộ phận.
Vi phân Topology là nghiên cứuVi phân lưu hìnhCùng nhưng hơi chiếu rọi tô-pô. Theo đại số Topology cùng hình học vi phân tiến bộ, ở 30 niên đại một lần nữa hứng khởi. H· huệ đặc ni ( H. Whitney ) ở 1935 năm cấp ra vi phân lưu hình giống nhau định nghĩa, cũng chứng minh nó tổng có thể khảm nhập cao duy Âu thị không gian. Vì nghiên cứu vi phân lưu hình thượng vector tràng, hắn còn đưa raBó sợiKhái niệm, do đó sử rất nhiều bao nhiêu vấn đề đều cùng đồng điệu ( kỳ tính loại ) cùng cùng luân vấn đề liên hệ đi lên.
1953 năm R· thác mỗ ( Rene Thom )Xứng biênLý luận khai sáng vi phân tô-pô cùngĐại số tô-pôSóng vai nhảy lên cục diện, rất nhiều khó khăn vi phân Topology vấn đề bị hóa thành đại số Topology vấn đề mà được đến giải quyết, đồng thời cũng kích thích đại số tô-pô tiến thêm một bước phát triển. 1956 nămMilnorPhát hiện bảy duy mặt cầu thượng trừ bỏ thông thườngVi phân kết cấuỞ ngoài, còn có bất đồng tầm thường vi phân kết cấu. Theo sau, không thể phú lấy bất luận cái gì vi phân kết cấu lưu hình lại bị người cấu làm ra tới, này đó đều biểu hiệnTopology lưu hình,Vi phân lưu hình cùng với xen vào ở giữa phân đoạnTuyến tínhLưu hình ( piecewise linear manifold ) này ba cáiPhạm trùCó thật lớn khác biệt, vi phân tô-pô cũng từ đây bị công nhận vì một cái độc lập tô-pô chi nhánh. 1960 nămTư mai ngươiChứng minh rồi năm duy trở lên vi phân lưu hìnhGiả thuyết Poincare.J.W. Milnor đám người phát triển xử lý vi phân lưu hình cơ bản phương pháp ── xẻo bổ thuật, sửNăm duyTrở lên lưu hình phân loại vấn đề cũng từng bước xu hướng đại số hóa.
Xông ra lĩnh vực nhưLưu hìnhKể trên tam đại phạm trù chi gian quan hệ cùng với 3d, tứ duy lưu hình phân loại. 80 niên đại sơ trọng đại thành quả có: Chứng minh rồi tứ duyGiả thuyết Poincare,Phát hiện tứ duy Âu thị không gian tồn tại không giống bình thường vi phân kết cấu. Này đủ loại nghiên cứu, thông thường gọi chung hình học Topology học, lấy cường điệu này bao nhiêu sắc thái, khác nhau với đại số vị thực trọng cùng luân luận.
2016 năm 10 nguyệt, nhà khoa học mở ra một cái thế giới chưa biết, vật chất có thể lấy một loại kỳ quái trạng thái tồn tại, bọn họ lợi dụng tiên tiến toán học phương pháp tới nghiên cứu không giống bình thường vật chất trạng thái, như chất siêu dẫn, siêu thể lưu hoặc từ màng chờ. Tính quyết định phát hiện là ba vị đoạt giải giả sử dụng vật lý Topology khái niệm, cho bọn hắn sau lại phát hiện khởi tới rồi tính quyết định tác dụng.
Ba vị nhà khoa học chọn dùng tô-pô làm nghiên cứu công cụ, này nhất cử động ở lúc ấy làm đồng hành cảm thấy giật mình. Ở thượng thế kỷ 70 niên đại lúc đầu, ngay lúc đó lý luận cho rằng siêu đạo hiện tượng cùng siêu thể lưu hiện tượng không có khả năng ở lá trung sinh ra, mà Michael Kosterlitz cùng David Thouless lật đổ này một lý luận. Bọn họ chứng minh rồi siêu đạo hiện tượng có thể ở nhiệt độ thấp hạ sinh ra, cũng giải thích siêu đạo hiện tượng ở so cực nóng độ hạ cũng có thể sinh ra cơ chế —— tương biến.[1]
Liên tục tính cùng ly tán tính này đối mâu thuẫn ở tự nhiên hiện tượng cùng xã hội hiện tượng trung phổ biến tồn tại, toán học cũng có thể thô sơ giản lược mà chia làm liên tục tính cùng ly tán tính hai đại loại. Tô-pô đối với liên tục tính toán học tự nhiên là có chứa căn bản ý nghĩa, đối với ly tán tính toán học cũng khởi thật lớn đẩy mạnh tác dụng. Tỷ như, tô-pô cơ bản nội dung đã trở thành hiện đại toán học công tác giả thường thức. Tô-pô tầm quan trọng, thể hiện ở nó cùng mặt khác toán học chi nhánh, mặt khác ngành học hỗ trợ lẫn nhau. Tô-pô ở phiếm hàm phân tích, thật phân tích, đàn luận, hình học vi phân, vi phân phương trình mặt khác rất nhiều toán học chi nhánh trung đều có rộng khắp ứng dụng.
Tô-pô cùngHình học vi phân họcCó huyết thống quan hệ, chúng nó ở bất đồng trình tự thượng nghiên cứu lưu hình tính chất. Vì nghiên cứu lê mạn lưu hình thượng trắc dây nối đất, H.M. Moore tư ở 20 thế kỷ 20 niên đại thành lậpPhi thoái hóa điểm tới hạnLý luận ( Moore tư lý luận ), đem lưu hình thượng bóng loáng hàm số điểm tới hạn chỉ số cùng lưu hình bản thân Betty số liên hệ lên, đồng phát triển thành phạm vi lớn biến phân pháp. Morse lý luận sau lại lại dùng cho tô-pô trung, chứng minh rồi điển hình đàn cùng luân đànBác đặcChu kỳ tính định lý, cũng gợi ý xử lý vi phân lưu hình xẻo bổ thuật. Vi phân lưu hình, bó sợi, kỳ tính loại cấp E· gia đương chỉnh thể hình học vi phân học cung cấp thích hợp lý luận dàn giáo, cũng từ giữa thu hoạch cường đại động lực cùng phong phú đầu đề.
Trần tỉnh đang ở 40 niên đại tiến cử “Trần kỳ tính loại”, liền chẳng những đốiHình học vi phân họcẢnh hưởng sâu xa, đối tô-pô cũng thập phần quan trọng. Bó sợi lý luận cùng liên lạc luận cùng nhau vì lý luận vật lý học trung dương － Mills quy phạm tràng lý luận cung cấp có sẵn toán học dàn giáo, giống như 20 thế kỷ sơ Hình học Riemann học đối với A. Einstein Thuyết tương đối rộng tác dụng. Quy phạm tràng nghiên cứu lại xúc tiến tứ duy vi phân tô-pô ngoài dự đoán mọi người tiến triển.
Tô-pô đối với phân tích học hiện đại phát triển nổi lên cực đại thúc đẩy tác dụng. Theo khoa học kỹ thuật phát triển, yêu cầu nghiên cứu đủ loại kiểu dáng phi tuyến tính hiện tượng, phân tích học càng nhiều mà xin giúp đỡ với tô-pô. Muốn hỏi một cái kết có không cởi bỏ ( tức có không biến hình thành bình phóng vòng tròn ), 30 niên đại J. Lặc lôi cùng J.P. Thiệu Del đem L.E.J. Bố lao Will bất động điểm định lý cùng chiếu rọi độ lý luận mở rộng đến Banach không gian hình thành Topology độ lý luận. Người sau cùng với trước thuật điểm tới hạn lý luận, đều đã trở thành nghiên cứu phi tuyến tính thiên vi phân phương trình tiêu chuẩn công cụ. Vi phân tô-pô tiến bộ, xúc tiến phân tích học hướng lưu hình thượng phân tích học ( lại xưng phạm vi lớn phân tích học ) phát triển.
Ở thác mỗ ảnh hưởng hạ, sau đó tùy ý vặn vẹo, vi phân chiếu rọi kết cấu ổn định tính lý luận cùng kỳ điểm lý luận đã phát triển trở thành làm trọng muốn chi nhánh ngành học. S. Tư mai ngươi ở 60 niên đại sơ bắt đầu vi phân hệ thống động lực lý luận. Chính là lưu hình thượng thường vi phân phương trình luận. M.F. A đế á đám người 60 niên đại mới thành lập lập vi phân lưu hình thượng hình bầu dục hình tính tử lý luận. Trứ danh a đế á - tân cách chỉ tiêu định lý đem tính tử phân tích chỉ tiêu cùng lưu hình kỳ tính loại liên hệ lên, là phân tích học cùng tô-pô kết hợp kiểu mẫu. Hiện đại phiếm hàm phân tích tính thế hệ con cháu số đã cùng K lý luận, chỉ tiêu lý luận, diệp trạng kết cấu chặt chẽ tương quan. Ở nhiều phục biến hàm số luận phương diện, đến từ đại số Topology tầng luận đã trở thành cơ bản công cụ.
Tô-pô yêu cầu đại đại kích thích trừu tượng đại số phát triển, hơn nữa hình thành hai cái tân đại số chi nhánh: Đồng điệu đại số cùngĐại số K lý luận.Hình học đại số học từ 50 niên đại tới nay đã hoàn toàn đổi mới. Thác mỗ xứng biên lý luận trực tiếp thúc đẩy Đa tạp đại số lê mạn － la hách định lý sinh ra, người sau lại thúc đẩy Topology K lý luận sinh ra. Hiện đại hình học đại số học đã hoàn toàn sử dụng thượng đồng điệu ngôn ngữ, đại số số luận cùng đại số đàn cũng tại đây cơ sở thượng lấy được rất nhiều trọng đại thành quả, tỷ như có quan hệ phương trình vô định số nguyên thủ đoạn mục phỏng chừng Vi y phỏng đoán cùng giả thuyết Mordell chứng minh.
Phạm trù cùng hàm tử quan niệm, là ở khái quát đại số Topology phương pháp luận khi hình thành. Phạm trù luận đã thâm nhập toán học cơ sở,Hình học đại số họcChia đều chi, đối tô-pô bản thân cũng có ảnh hưởng. Như Topology tư quan niệm đại đại thác quảng kinh điển Topology không gian quan niệm.
Ở kinh tế học phương diện, phùng · nặc y mạn đầu tiên đem bất động điểm định lý dùng để chứng minh cân đối tồn tại tính. Ở hiện đại số lý kinh tế học trung, đối với kinh tế toán học mô hình, cân đối tồn tại tính, tính chất, tính toán chờ căn bản vấn đề đều không rời đi đại số tô-pô, vi phân tô-pô, phạm vi lớn phân tích công cụ. ỞHệ thống lý luận,Đối sách luận, quy hoạch luận, internet luận trung tô-pô cũng đều có quan trọng ứng dụng.
Thác mỗ lấy vi phân tô-pô trung vi phân chiếu rọi kỳ điểm lý luận làm cơ sở sáng lập đột biến lý luận, vì từ lượng biến đến biến chất chuyển hóa cung cấp các loại toán học hình thức. Ở vật lý học, hóa học, sinh vật học, ngôn ngữ học chờ phương diện đã có không ít ứng dụng. Trừ bỏ thông qua các toán học chi nhánh gián tiếp ảnh hưởng ngoại, tô-pô khái niệm cùng phương pháp đối vật lý học ( như tinh thể lỏng kết cấu khuyết tật phân loại ), hóa học ( như phần tử Topology cấu hình ), sinh vật học ( như DNA vờn quanh, Topology dị cấu môi ) đều có trực tiếp ứng dụng.
Trừ bỏ Bài toán bảy cây cầu, bốn màu vấn đề, định lý Euler chờ, tô-pô trung còn có rất nhiều thú vị hơn nữa thực cơ bản vấn đề.
Không gian trung một cái tự thân không tương giao phong bế đường cong, sẽ phát sinh thắt hiện tượng. Muốn hỏi một cái kết có không cởi bỏ ( tức có không biến hình thành bình phóng vòng tròn ), hoặc là hỏi hai cái kết có không lẫn nhau biến, hơn nữa không chỉ làm mô hình thử xem, còn phải cho ra làm chứng minh, vậy xa không phải kiện dễ dàng sự ( thấy nữu kết lý luận ).
Cái gì là đường cong? Mộc mạc quan niệm là điểm động thành tuyến, tùy một cái tham số ( thời gian ) liên tục biến hóa động điểm sở miêu ra quỹ đạo chính là đường cong. Chính là, Peano ở 1890 năm thế nhưng làm ra một cái như vậy “Đường cong”, nó lấp đầy toàn bộ hình vuông. Này kích phát rồi về duy số khái niệm thâm nhập tham thảo, trải qua 20～30 năm mới lấy được mấu chốt tính đột phá.
Suy xét bóng loáng mặt cong thượng liên tục cắt về phía lượng tràng, tức ở mặt cong mỗi một chút phóng một cái cùng mặt cong tương thiết vector, hơn nữa này phân bố là liên tục, trong đó vector tương đương 0 địa phương kêu kỳ điểm. Tỷ như, địa cầu mặt ngoài mỗi điểm tốc độ gió vector liền tạo thành một cái tùy thời gian biến hóa cắt về phía lượng tràng, mà kỳ điểm chính là lúc ấy không phong địa phương. Từ trực quan kinh nghiệm nhìn ra, mặt cầu thượng liên tục cắt về phía lượng tràng nhất định có kỳ điểm, mà hoàn trên mặt lại có thể làm ra không có kỳ điểm vector tràng. Tiến thêm một bước phân tích, mỗi cái kỳ điểm có một cái “Chỉ số”, tức đương động điểm vòng nó một vòng khi, động điểm chỗ vector chuyển vòng số; này chỉ số có chính phụ, coi động điểm vòng hành phương hướng cùng vector chuyển động phương hướng tương đồng hoặc tương phản mà định.
Mặt cầu thượng cắt về phía lượng tràng, chỉ cần kỳ điểm cái số là hữu hạn, này đó kỳ điểm chỉ số tổng đại số ( chính phụ muốn tương tiêu ) giống hệt với 2; mà hoàn trên mặt tắc giống hệt với 0. Này 2 cùng 0 đúng lúc là kia hai cái mặt cong Âu kéo số, này không phải ngẫu nhiên trùng hợp. Đây là tô-pô trung Poincaré - hoắc phổ phu định lý.
Suy xét một cái mặt cong đến tự thân liên tục biến hóa ( chiếu rọi ), tức mặt cong mỗi một chút bị chuyển qua nên mặt cong thượng tân vị trí, liên tục là chỉ cho nhau lân cận điểm bị chuyển qua cho nhau lân cận điểm, mới cũ vị trí tương đồng điểm kêu này biến hóa bất động điểm. Theo sau, mỗi cái bất động điểm cũng có cái “Chỉ số”, tức đương động điểm vòng nó một vòng khi, chạy theo điểm chỉ hướng này giống điểm vector chuyển động vòng số.
Tô-pô gia nhóm phát hiện, mặt cong đến tự thân chiếu rọi bất động điểm cái số nếu là hữu hạn, chúng nó chỉ số tổng đại số sẽ không nhân đối này chiếu rọi làm rất nhỏ sửa chữa mà thay đổi, cho nên nhưng từ này chiếu rọi nào đó thô sơ giản lược đặc thù tính toán ra tới. Đặc biệt là đối với thành thực viên thượng chiếu rọi, chỉ số cùng hằng vì 1, cho nên thành thực viên đến tự thân chiếu rọi luôn có bất động điểm.
- Giống nhau tô-pôThành lập Topology cơ sở, cũng nghiên cứu Topology không gian tính chất, cùng với cùng Topology không gian tương quan khái niệm. Giống nhau tô-pô cũng được xưng là điểm tập tô-pô, bị dùng cho mặt khác toán học lĩnh vực ( như khẩn trí tính cùng liên thông tính chờ chủ đề ) bên trong.
- Đại số tô-pôVận dụng đồng điệu cùng cùng luân đàn chờ đại số kết cấu lượng trắc liên thông tính trình độ.
- Vi phân tô-pôNghiên cứu ở vi phân lưu hình thượng nhưng hơi hàm số, cùng hình học vi phân chặt chẽ tương quan, cũng đồng loạt tạo thành vi phân lưu hình hình học lý luận.
- Hình học Topology họcChủ yếu nghiên cứu lưu hình cùng với đối mặt khác lưu hình khảm nhập. Hình học Topology học trung một cái đặc biệt sinh động lĩnh vực vì “Thấp duy tô-pô”, nghiên cứu tứ duy dưới lưu hình. Hình học Topology học cũng bao gồm “Nữu kết lý luận”, nghiên cứu toán học thượng nữu kết.
2016 năm 10 nguyệt 4 ngày sau ngọ 5 giờ 45, 2016 năm Nobel vật lý học thưởng công bố, ba vị anh mỹ nhà khoa học David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane, J. Michael Kosterlitz đoạt giải. Đoạt giải lý do là “Lý luận phát hiện Topology tương biến cùng Topology tương vật chất”. Trong đó, David J. Thouless độc hưởng một nửa tiền thưởng, F. Duncan M. Haldane cùng J. Michael Kosterlitz chia sẻ một nửa kia tiền thưởng.
David J. Thouless,1934 năm sinh ra với Anh quốc Bales đăng, 1958 năm từNước Mỹ Cornell đại họcĐạt được tiến sĩ học vị. Hiện vìNước Mỹ Washington đại họcVinh dự về hưu giáo thụ.
F. Duncan M. Haldane, 1951 năm sinh ra với Anh quốc Luân Đôn, 1978 năm từAnh quốc Cambridge đại họcĐạt được tiến sĩ học vị. Hiện vìNước Mỹ Đại học PrincetonVật lý học giáo thụ.
J. Michael Kosterlitz, 1942 năm sinh ra với Anh quốc Aberdeen, 1969 năm từAnh quốc Oxford đại họcĐạt được tiến sĩ học vị. Hiện vìNước Mỹ Brown đại họcVật lý học giáo thụ.[1][4]
Về Trung Quốc đệ nhất thiên tô-pô luận văn có hai loại quan điểm: Một loại cho rằng 1925 hoặc 1926 năm du đại duy phát biểu đệ nhất thiên tô-pô luận văn, này nguyên tự Lý trọng hành ( Lý đạt )1944 năm ở 《 khoa học 》 đệ 3 kỳ phát biểu 《 ba mươi năm tới Trung Quốc toán học 》; một loại khác phủ định người trước, đưa ra 1931 năm giang trạch hàm phát biểu đệ nhất thiên tô-pô luận văn.[5]
