Ін’екцыя (матэматыка)

Ін’екцыяуматэматыцы—адлюстраванне $f$ мноства $X$ у мноства $Y$ ( $f\colon X\to Y$ ), пры якім розныя элементы мноства $X$ адлюстроўваюцца ў розныя элементы мноства $Y$ ,гэта значыць, што калі двавобразыпры адлюстраванні супадаюць, то супадаюць і правобразы: $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ .

Ін’екцыю таксама называюцьукладаннемабоадна-адназначным адлюстраваннем(у адрозненне адбіекцыі,якая ўзаемна-адназначная). У адрозненне адсюр’екцыі,пра якую гавораць, што яна адлюстроўвае адно мностванаіншае, аб ін’екцыі $f\colon X\to Y$ аналагічная фраза фармулюецца якадлюстраванне $X$ у $Y$ .

Ін’екцыю можна таксама азначыць як адлюстраванне, для якога існуе левае адваротнае, гэта значыць, $f\colon X\to Y$ ін’ектыўнае, калі існуе $g\colon Y\to X$ ,пры якім $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ .

Паняцце ін’екцыі (разам з сюр’екцыяй і біекцыяй) з’явілася у працахБурбакіі атрымала шырокае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Абагульненнем паняцця ін’екцыі утэорыі катэгорыйз’яўляецца паняццеманамарфізма,у многіх катэгорыях гэтыя паняцці эквівалентныя, аднак гэта выканана не заўжды.

Прыклады:

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R},\;f(x)=\ln x$ — ін’ектыўная.
$f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R},\;f(x)=x^{2}$ — ін’ектыўная.
$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R},\;f(x)=x^{2}$ — не з’яўляецца ін’ектыўнай ( $f(-2)=f(2)=4$ ).

Літаратура

Н. К. Верещагин, А. Шень.Начала теории множеств//Лекции по математической логике и теории алгоритмов.