Teorema binomial

Koefisien dari teorema binomial dapat dilihat pada segitiga pascal dan ditentukan menggunakan aturan kombinasi.

Dalammatamatikabidangaljabar elementer,teorema binomialadalahrumuspenting nang mambariakan ekspansi atawapangkatdari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)$

Gasan setiap bilanganriilatawakompleksxdany,serta barataanbilangan bulattaknegatifn.Koefisien binomialnang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsifaktorialn!:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

Gasan contoh, gasan 2 ≤n≤ 5:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,$

Lihati bahwa:

1. Pangkat dari$x$bagarak turun dimana pada suku nang pertama dimulai lawan n ($x^{n}$) wan pada suku terakhir sama dengan 0 ($x^{0}=1$).
2. Gasan pangkat dari$y$berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0 ($y^{0}=1$) wan pada suku terakhir sama dengan n ($y^{n}$).

Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,$

$(x-y)^{4}=x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}\,$

Sejarah

Paristiwa-paristiwa khusus tarkait teorema binomial nang dikatahui sejak zaman kuno diikhtisarkan barikut ngini:

Abad ka-4 SMmatematikawan YunaniEuklidesmanyambat kasus khusus teorema binomial hagan eksponen 2.Ada bukti bahwa teorema binomial hagan kubus sudah dikatahui pas abad ka-6 di India.

Koefesien binomial, nang kaya jumlah kumbinasi nang manampaiakan banyak cara hagan mamilihkubjik matanntanpa panggantian, sudah manjadi parhatian urang-urang Hindu kuno. Referensi paling pamulaan nang dikatahui manganai parmasalahan kumbinasi ngini adalahChandaḥśāstrakarya panulis Hindu,Pingala(sakitar 200 SM), nang mamuat suatu mitude hagan sulusinya.^:230Saikung panaliti bangaranHalayudhamatan abad ka-10 M manjalasakan manganai mitudi ngini manggunaakan nang wayahini dipinandui lawan ngaransegitiga Pascal.Haratan abad ka-6 M, matematikawan Hindu mungkin sudah mangatahui cara manunjukkannya dalam sabuting parsamaan${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$,wan suatu pernyataan nang jelas manganai aturan ngini kawa ditamuakan dalam naskah abad ka-12LilavatikaryaBhaskara.

Teorema binomial nang sama kawa ditamuakan pada hasil tulisanmatematikawan Persiaabad ka-11,Al-Karaji,nang manggambarakan pola sagitiga matan koefisien binomial.Inya jua mambarii jugapembuktian matematikamatan teorema binomial wan sagitiga lawan mamakai sabuting bantuk sadarhana mataninduksi matematika.Penyari wan matematikawan PersiaUmar Khayyāmmungkin sudah akrab lawan rumus-rumus lawan pangkat nang tatinggi, maskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.Ekspansi binomial lawan derajat halus sudah dikatahui ulih matematikawan abad ka-13 bangaranYang HuiwanZhu Shijie.Yang Hui mahubungakan mitudi ngitu lawan naskah nang jauh labih pamulaan baasal matan abad ka-11 tulisanJia Xian,maskipun tulisan-tulisannya wayahini jua hilang.^:142