Funkcija (matematika)
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljenizvorima(literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
- Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) uprogramiranju,pogledajte članakfunkcija (programiranje)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Graph_of_example_function.svg/250px-Graph_of_example_function.svg.png)
Matematičkikonceptfunkcijeizražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijablaili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnogskupa,kao što surealni brojevi.
Historija
[uredi|uredi izvor]Funkcija kao matematički termin je prvi put objavioGottfried Wilhelm Leibniz1694.godine kako bi opisao količinu u relaciji premakrivoj.Te funkcije danas zovemodiferencijali.
Uobičajena notacija za funkciju jef(x),koju je prvi upotrebiošvicarskimatematičarLeonhard Euler.
Inverzna funkcija
[uredi|uredi izvor]Ako je ƒ funkcija odXdoY,tada jeinverzna funkcijaza ƒ, označenasa ƒ−1,funkcija u suprotnom smijeru, odYdoX,sa osobinom dakompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju seinverzabilne.
Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu izCelzijusauFahrenheite,funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.
Ispitivanje toka funkcije
[uredi|uredi izvor]Ispitati tok funkcijeznači oidrediti sljedeće
Područje definicije
[uredi|uredi izvor]Za određivanje područja definicije funkcijepotrebno je poznavati elementarne funkcije
Parnost
[uredi|uredi izvor]Parnost funkcijeprovjerava se pomoću definicije:
- Funkcijaje parna ako jeza svaki,a neparna ako je) za svaki.
Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak.
- Primjer
je parna zaparan, a neparna zaneparan pa je:
.
Funkcijaje parna: ako je,tada jepa vrijedi
Zajepa vrijedi
Periodičnost
[uredi|uredi izvor]Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije
- Funkcijaje periodična ako postoji brojtakav da za svakivrijedi
Tada mora vrijediti.Najmanji takav pozitivni brojosnovni period ili period funkcije.
Primjeri periodičnih funkcija sutrigonometrijske funkcije.
Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
Nula funkcije
[uredi|uredi izvor]Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine
Asimptote funkcije
[uredi|uredi izvor]Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa iL'Hospitalovim pravilo,ako je potrebno.
Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.
Pravaje vertikalna asimptota funkcijeu tački s lijeve strane ako jeili .
Pravaje vertikalna asimptota funkcijeu tackis desne strane ako je
ili
.
Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.
- Primjer
Pravaje vertikalna asimptota funkcijes obje strane.
Pravaje vertikalna asimptota funkcija,is desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.
Pravaje horizontalna asimptota funkcijena lijevoj strani ako je. Pravaje horizontalna asimptota funkcijena desnoj strani ako je.
- Primjer
Pravaje horizontalna asimptota funkcijena obje strane, kao ihorizontalna asimptota funkcijaina lijevoj strani.
Ako je
pri čemu je
tada je pravakosa asimptota funkcijesa lijeve strane.
Kosu asimptotu funkcijesa desne strane definišemo analogno.
Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je.Prema definiciji asimptotekada.Kako jekonstanta, zaključujemo da .
Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa
je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.
Gornja jednakost je ekvivalentna sa
.
pa je
.
Pri tome treba voditi računa o sljedećem:
- kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kadai kada
- asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu,uvijek treba računati posebno
- treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada,
- Primjer
.
Ekstremi funkcije
[uredi|uredi izvor]Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.
Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi
- Neka je funkcijaneprekidna u tački.Ako funkcijaima lokalni ekstrem u tački,tada jekritična tačka funkcije.
Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji
- Neka je funkcijaneprekidna u tački.Tačkaje stacionarna tačka funkcijeako je.Tačkaje kritična tačka funkcijeako jestacionarna tačka ili akonije diferencijabilna u tački.
Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvodai riješiti jednačinu. Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:
pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme
- Ako prvi izvodmijenja predznak u kritičnoj tački,tada funkcijaima lokalni ekstrem u tački.Pri tome vrijedi sljedeće
- akomijenja predznak sana,tada jelokalni minimum, a akomijenja predznak sana,tada jelokalni maksimum.
pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme
- Neka je u stacionarnoj tačkifunkcijadva puta diferencijabilna. Ako je,tada funkcijaima lokalni ekstrem u tacki.Pri tome vrijedi sljedeće
- ako je,tada jelokalni minimum, a ako je,tada jelokalni maksimum.
pomoću viših izvoda na osnovu teoreme
- Neka funkcijaima u nekoj-okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda,pri čemu je.
- Neka je
- Ako jeneparan, tada funkcijaima infleksiju u tački.Ako jeparan i ako je uz to još i,tada funkcijaima lokalni ekstrem u tačkii to minimum zai maksimum za.
Intervali monotonosti
[uredi|uredi izvor]Posto smo načli prvi izvodfunkcijeintervale monotonosti određujemo određujuci predznak odna osnovu teoreme
- Neka je funkcijadiferencijabilna na intervalu.Tada vrijedi
- funkcijaje rastuća na intervaluako i samo ako jeza svaki
- Funkcijaje opadajuća na intervaluako i samo ako jeza svaki
- Ako jeza svaki,tada je funkcijastrogo rastuća na intervalu
- Ako jeza svaki,tada je funkcijastrogo opadajuća na intervalu.
Konkavnost i konveksnost funkcije
[uredi|uredi izvor]Potrebno je odrediti drugi izvod,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme
- Neka je funkcijadva puta deiferencijabilna na intervalu.Ako jeza svaki,tada je funkcijastrogo konveksna na intervalu.Ako jeza svaki,tada je funkcijastrogo konkavna na intervalu.
Tačke infleksije
[uredi|uredi izvor]Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvodmijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi
- Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj-okolini tačke,osim možda u tački.Akomijenja predznak u tački,tada funkcijaima infleksiju u tački.
Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme
- Neka funkcijaima u nekoj- okolini tačkeneprekidne izvode do uključivo reda,pri čemu je.Neka je
- Ako jeneparan, tada funkcijaima infleksiju u tački.
- Ako jeparan i ako je uz to još i,tada funkcijaima lokalni ekstrem u tackii to minimum zai maksimum za.
U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvodjednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi
- Ako funkcijaima infleksiju u tačkii akopostoji, tada je.
Graf funkcije
[uredi|uredi izvor]Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.
Ostale osobine
[uredi|uredi izvor]Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.
Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:
- bijekcija, injekcija i surjekcija,ili pojedinačno:
- neprekidna
- diferencijabilna funkcija,integrabilna
- linearna,polinomi,racionalna
- algebarska,transcendentalna
- trigonometrijska
- fraktal
- parna ili neparna
- konveksna,monotona,jednomodalna
- holomorfska,meromorfska,cijela
- vektorska
- izračunljive
- funkcija cijelog dijela
- funkcija realne varijable
Također pogledajte
[uredi|uredi izvor]- Spisak matematičkih funkcija
- Funkcionalni predikat
- Kompozicija funkcija
- Funkcional
- Funkcionalna dekompozicija
- Implicitna funkcija
- Parametarska jednačina
- Plateau
- Proporcionalnost
- Steinerov problem
Reference
[uredi|uredi izvor]Zabilješke
[uredi|uredi izvor]Reference
[uredi|uredi izvor]- Anton, Howard (1980),Calculus with Analytical Geometry,Wiley,ISBN978-0-471-03248-9
- Bartle, Robert G. (1976),The Elements of Real Analysis(2nd izd.),Wiley,ISBN978-0-471-05464-1
- Hardy, Godfrey Harold (1908),A Course of Pure Mathematics,Cambridge University Press(objavljeno 1993),ISBN978-0-521-09227-2
- Husch, Lawrence S. (2001),Visual Calculus,Univerzitet u Tennesseeu,arhivirano soriginala,24. 9. 2011,pristupljeno 27. 9. 2007
- da Ponte, João Pedro (1992),"The history of the concept of function and some educational implications",The Mathematics Educator,3(2): 3–8,ISSN1062-9017,arhivirano soriginala,7. 9. 2008,pristupljeno 3. 11. 2008
- Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995),Calculus and Analytic Geometry(9th izd.),Addison-Wesley,ISBN978-0-201-53174-9
- Youschkevitch, A. P. (1976), "The concept of function up to the middle of the 19th century",Archive for History of Exact Sciences,16(1): 37–85,doi:10.1007/BF00348305.
- Monna, A. F. (1972), "The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue",Archive for History of Exact Sciences,9(1): 57–84,doi:10.1007/BF00348540.
- Kleiner, Israel (1989), "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey",The College Mathematics Journal,20(4): 282–300,doi:10.2307/2686848.
- Ruthing, D. (1984), "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.",Mathematical Intelligencer,6(4): 72–77.
- Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992),The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy,Mathematical Association of America,ISBN0883850818.
- Malik, M. A. (1980), "Historical and pedagogical aspects of the definition of function",International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,11(4): 489–492,doi:10.1080/0020739800110404.
- Ispitivanje toka funkcije
Vanjski linkovi
[uredi|uredi izvor]- The Wolfram Functions Sitegives formulae and visualizations of many mathematical functions.
- Shodor: Function Flyer,interactive Java applet for graphing and exploring functions.
- xFunctions,a Java applet for exploring functions graphically.
- Draw Function Graphs,online drawing program for mathematical functions.
- Functionsfromcut-the-knot.
- Function at ProvenMath.
- Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool
Nedovršeni članakFunkcija (matematika)koji govori omatematicitreba dopuniti.Dopunite gapremapravilimaWikipedije.