Lleis de Kepler

Enastronomia,leslleis de Keplersón treslleis científiquesque descriuen el moviment delsplanetesal voltant delSol.

1. L'òrbitad'un planeta és unael·lipseamb el Sol situat en un dels seus dosfocus.
2. Un segment rectilini que uneix el planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.
3. El quadrat delperíode orbitald'un planeta és proporcional al cub delsemieix majorde la seva òrbita.

Il·lustració de les tres lleis de Kepler amb dues òrbites planetàries.

1. Les òrbites són el·lipses, amb els punts focalsF₁iF₂ pel primer planeta iF₁iF₃ pel segon. El Sol es troba al focusF₁.
2. Els dos sectors ombrejatsA₁iA₂ tenen la mateixa àrea, i el temps que tarda el planeta 1 per cobrir el segmentA₁és igual al temps per cobrir el segmentA₂.
3. Els temps d'òrbita totals pels planetes 1 i 2 segueixen la proporció${\textstyle \left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Aquestes lleis s'apliquen a qualsevol cos orbitant al voltant d'un altre (per exemple laLlunao els satèl·lits artificials i laTerra), sempre que negligim la influència de tercers cossos. La major part d'òrbites planetàries són gairebé circulars, i es necessiten càlculs i observació per determinar que no són perfectament circulars. Els càlculs de l'òrbita deMart,valors publicats dels quals subjecte de debat,indicaven que es tractava d'una òrbita el·líptica. A partir d'aquí,Johannes Keplerva deduir que els altres cossos delsistema solar,incloent-hi aquells més llunyans al Sol, també tenen òrbites el·líptiques.

L'obra de Kepler, publicada entre el 1609 i el 1619, va millorar lateoria heliocèntricadeNicolau Copèrnicexplicant com variaven les velocitats dels planetes, i fent servir òrbites el·líptiques i no circulars ambepicicles.El 1687,Isaac Newtonva demostrar que les relacions establertes per Kepler s'aplicaven al sistema solar a conseqüència de les seveslleis del movimentide la gravitació universal.

Comparació amb Copèrnic

Les lleis deJohannes Keplervan millorar el model deCopèrnic.Segons Copèrnic:

1. L'òrbita planetària és un cercle amb epicicles.
2. El Sol es troba aproximadament al centre de l'òrbita.
3. La velocitat del planeta a l'òrbita principal és constant.

Tot i tenir raó en dir que els planetes giraven al voltant del Sol, Copèrnic va ser incorrecte en definir les seves òrbites. Va ser Kepler qui va definir correctament l'òrbita dels planetes de la següent manera:

1. L'òrbita planetàrianoés un cercle amb epicicles, sinó unael·lipse.
2. El Solnoes troba al centre sinó en unpunt focalde l'òrbita el·líptica.
3. Ni la velocitat lineal ni la velocitat angular del planeta a l'òrbita són constants, però lavelocitat de l'àrea(estretament vinculada històricament amb el concepte demoment angular) és constant.

L'excentricitatde l'òrbita de la Terrafa que el temps des de l'equinocci de marçfins a l'equinocci de setembre,al voltant de 186 dies, sigui desigual al temps des de l'equinocci de setembre a l'equinocci de març, uns 179 dies. Un diàmetre tallaria l'òrbita en parts iguals, però el pla que travessa el Sol paral·lel a l'equadorde la Terra talla l'òrbita en dues parts amb àrees en una proporció de 186 a 179, de manera que l'excentricitat de l'òrbita del La Terra és aproximadament

$e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,$

que s'aproxima al valor correcte (0,016710218). La precisió d'aquest càlcul requereix que les dues dates escollides estiguin al llarg de l'eix menor de l'òrbita el·líptica i que els punts mitjans de cada meitat estiguin al llarg de l'eix major. Com que les dues dates escollides aquí són equinoccis, això serà correcte quan elperiheli,la data en què la Terra està més propera al Sol, cau en unsolstici.El periheli actual, prop del 4 de gener, està força a prop del solstici del 21 o 22 de desembre.

Formulari

El model matemàtic de la cinemàtica d'un planeta subjecte a les lleis permet fer un gran ventall de càlculs.

Primera llei de Kepler

«

L'òrbitade cadaplanetaés unael·lipseamb el Sol a un dels seus dosfocus.

»

La primera llei de Kepler situa el Sol al focus d'una òrbita el·líptica

Sistema de coordenades heliocèntric (r,θ) per una el·lipse. També s'hi mostren el semieix majora,el semieix menorbi elsemilatus rectump;el centre de l'el·lipse i els seus dos focus marcats per punts. Perθ = 0°,r=r_mini perθ = 180°,r=r_max.

Matemàticament, es pot representar amb la fórmula:

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},$

on$p$és elsemilatus rectum,εés l'excentricitatde l'el·lipse,rés la distància des del Sol fins al planeta, iθés l'angle a la posició actual del planeta des de la seva aproximació més propera, vist des del Sol. Així, (r,θ) és un sistema decoordenades polars.

Per una el·lipse 0 <ε< 1; al cas límitε= 0, l'òrbita és un cercle amb el Sol al centre, ja que l'excentricitat és nul·la.

Aθ= 0°,periheli,la distància és mínima

$r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}$

Aθ= 90° i aθ= 270° la distància és igual a$p$.

Aθ= 180°,afeli,la distància és màxima (per definició, l'afeli és – invariablement – el periheli més 180°)

$r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}$

Elsemieix majoraés lamitjana aritmèticaentrer_minir_max:

${\begin{aligned}r_{\max }-a&=a-r_{\min }\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}$

Elsemieix menorbés lamitjana geomètricaentrer_minir_max:

${\begin{aligned}{\frac {r_{\max }}{b}}&={\frac {b}{r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}$

Elsemilatus rectumpés lamitjana harmònicaentrer_minir_max:

${\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}&={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}\\[3pt]pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}$

L'excentricitatεés elcoeficient de variacióentrer_minir_max:

$\varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.$

L'àreade l'el·lipse és

$A=\pi ab\,.$

El cas especial d'un cercle, onε= 0, porta al fet quer=p=r_min=r_max=a=biA=πr².

Segona llei de Kepler

«

Unarectaque uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.

»

S'escombra la mateixa àrea (en blau) en un període fix. La fletxa verda és la velocitat. La fletxa lila dirigida cap al Sol, és l'acceleració. Les altres dues fletxes liles són les components de l'acceleració paral·lela i perpendicular a la velocitat.

El radi orbital i la velocitat angular del planeta a l'òrbita el·líptica varia. Aquest fet es mostra a l'animació: el planeta es mou més ràpidament quan és a prop del Sol, i més lentament quan se n'allunya. La segona llei de Kepler afirma que el sector blau té una àrea constant.

Per un breu instant$dt\,$el planeta escombra un petit triangle de base$r\,$altura$r\,d\theta$i àrea$dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot rd\theta$,i així lavelocitat areolarconstant és${\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}.$

L'àrea de l'òrbita el·líptica és$\pi ab.\,$Així, el període$P\,$satisfà

$P\cdot {\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab$

i elmoviment mitjàdel planeta al voltant del Sol

$n={\frac {2\pi }{P}}$

satisfà

$r^{2}\,d\theta =abn\,dt.$

Tercera llei de Kepler

«

Elquadratdelperíode orbitalés directamentproporcionalalcubdelsemieix majorde la seva òrbita.

»

Això captura la relació entre la distància dels planetes des del Sol, i els seus períodes orbitals. Kepler va enunciar aquesta llei el 1619en un intent per determinar segons lleis precises el que veia com la "música de les esferes",i expressar-ho en termes de notació musical.Així, era coneguda com lallei harmònica.

Emprant la llei de la gravitació de Newton, publicada el 1687, es pot trobar aquesta relació pel cas d'una òrbita circular igualant laforça centrípetaa la força gravitacional:

$mr\ Omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}$

Llavors, expressant la velocitat angular en termes del període orbital i reordenant els termes, es troba la Tercera Llei de Kepler:

$mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\rightarrow T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\rightarrow T^{2}\propto r^{3}$

Es pot trobar una relació més general per a òrbites el·líptiques i per òrbites al voltant d'un centre de massa, més que al voltant d'una massa gran. Això resulta en reemplaçar un radi circular$r$amb el semieix major d'una el·lipse$a$,a més de reemplaçar la massa$M$per$M+m$.Tanmateix, com que les masses dels planetes són significativament inferiors a les del Sol, sovint s'ignora aquesta correcció. La fórmula corresponent sencera és:

${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7,495\cdot 10^{-6}\left({\frac {{\text{UA}}^{3}}{{\text{dies}}^{2}}}\right){\text{ és constant}}$

on$M$és la massa del sol,$m$és la massa del planeta i$G$és laconstant de la gravitació,$T$és el període orbital i$a$és el semieix major de l'el·lipse.

La següent taula mostra les dades emprades per Kepler per derivar empíricament la seva llei:

Dades emprades per Kepler (1618)

Planeta	Distància mitjana al sol (UA)	Període (dies)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$(106AU3/day2)
Mercuri	0,389	87,77	7,64
Venus	0,724	224,70	7,52
Terra	1	365,25	7,50
Mart	1,524	686,95	7,50
Júpiter	5,2	4332,62	7,49
Saturn	9,510	10759,2	7,43

Representació logarítmica del període orbital (en anys terrestres) segons el semieix major (en unitats astronòmiques) per als vuit planetes del sistema solar.

Després de trobar aquest patró, Kepler va escriure: "Inicialment creia que somiava... però és absolutament cert i exacte que aquesta proporció entre els períodes de dos planetes qualssevol és exactament la potència de 3/2 de la distància mitjana."

Segons estimacions modernes:

Dades actuals (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)

Planeta	Semieix major (UA)	Període (dies)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$(106UA3/dia2)
Mercuri	0,38710	87,9693	7,496
Venus	0,72333	224,7008	7,496
Terra	1	365,2564	7,496
Mart	1,52366	686,9796	7,495
Júpiter	5,20336	4332,8201	7,504
Saturn	9,53707	10775,599	7,498
Urà	19,1913	30687,153	7,506
Neptú	30,0690	60190,03	7,504

Bibliografia general

• Kepler's life is summarized on pages 523–627 and Book Five of hismagnum opus,Harmonice Mundi(harmonies of the world), is reprinted on pages 635–732 ofOn the Shoulders of Giants:The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus,Kepler,Galileo,Newton,andEinstein).Stephen Hawking,ed. 2002ISBN 0-7624-1348-4
• A derivation of Kepler's third law of planetary motion is a standard topic in engineering mechanics classes. See, for example, pages 161–164 ofMeriam,J.L..Dynamics, 2nd ed.New York: John Wiley, 1971.ISBN 978-0-471-59601-1..
• Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999,ISBN 0-521-57597-4
• V. I. Arnold,Mathematical Methods of Classical Mechanics,Chapter 2. Springer 1989,ISBN 0-387-96890-3