Grup resoluble

Enmatemàtiquesungrup resolubleés ungrupque es pot construir a través d'extensionsdes degrups abelians.La importància històrica i el nom d'aquest tipus de grups prové de lateoria de Galois,que pot demostrar que unaequació polinòmicaésresoluble per radicalssi i només si el seugrup de Galoisés un grup resoluble.

Definició

UngrupGes diu resoluble si existeix una famíliaG₀,...,G_nde subgrups deGtals que

$\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \ldots \subseteq G_{n-1}\subseteq G_{n}=G,$

on cadaG_iés unsubgrup normaldelG_i+1i elgrup quocient$G_{i+1}/G_{i}$és ungrup abelià,per a cadaidins de { 1,...,n−1}.

En resum, un grup és resoluble si té unacadenasubnormalfinitaamb quocients abelians.

Exemples

• Tots elsgrups abelianssón òbviament resolubles.
• Els grupssimètricS_nialternatA_nnomés són resolubles quan$n\leq 4$.Això provoca que lesequacions polinòmiques de grau cinco superior no tinguin una fórmula que doni la solució general usant només funcions aritmètiques i radicals.
• El grup de matriusn×ntriangulars superiorsen uncosK,$T_{n}(K)=\{A=(a_{ij})|a_{ij}\in K,\det A\neq 0,a_{ij}=0{\text{ si }}i>j\}$és resoluble.
• Tots elsgrups nilpotentssón resolubles. En particular, elsp-grupsfinits són resolubles.
• Tots elsgrups simplesno abelianssón no-resolubles.
• Tot grup amb menys de seixanta (60) elements és resoluble.
• El famósTeorema de Feit-Thompsonenuncia que cadagrup finitd'ordresenarés resoluble. En particular això implica que si un grup finit és simple llavors o bé éscíclicd'ordreprimero bé té ordre parell.

Propietats

La resolubilitat d'un grup està tancada sota certes operacions:

• Tot subgrup d'un grup resoluble és resoluble.
• SiGés resoluble, i hi ha unhomomorfismeexhaustiudeGaH,aleshoresHés resoluble. Equivalentment (pelteorema d'isomorfia), siGés resoluble iNn'és un subgrup normal, llavorsG/Nés resoluble.
• De fet,Gés resolublesi i només sitantNcomG/Nsón resolubles.
• SiGiHsón grups resolubles, el seuproducte directeG×Htambé és resoluble.
• SiHiG/Hsón resolubles llavorsGtambé ho és. En particular, siNiHsón resolubles, el seuproducte semidirecteés resoluble.