Anàlisi funcional

L'anàlisi funcionalés la branca de lesmatemàtiques,i específicament de l'anàlisi,que tracta de l'estudi d'espais defuncions.Té les seves arrels històriques en l'estudi de transformacions, com ara latransformació de Fourieri en l'estudi de lesequacions diferencialsi equacions integrals. La paraulafuncionales remunta alcàlcul de variacions,implicant una funció l'argument de la qual també és una funció. El seu ús en general s'ha atribuït aVolterra.

A la visió moderna inicial, es va considerar l'anàlisi funcional com l'estudi delsespais vectorials normatscompletssobre elsrealso elscomplexos.Aquests espais es diuenespais de Banach.Un exemple important és l'espai de Hilbert,on la norma sorgeix d'unproducte escalar.Aquests espais són d'importància fonamental en la formulació matemàtica de lamecànica quàntica.Més generalment i modernament, l'anàlisi funcional inclou l'estudi delsespais de Frécheti altres espais vectorials localment convexos i encara topològics.

Un objecte important d'estudi en anàlisi funcional són elsoperadors linealscontinus definits en els espais de Banach i de Hilbert. Aquests condueixen naturalment a la definició deC * àlgebrai altresàlgebresd'operadors.

Els espais de Hilbert poden ser classificats totalment: hi ha un únic espai de Hilbert mòdulisomorfismeper a cadaCardinalde la base (hilbertiana). Com que els espais de Hilbert finit-dimensionals s'entenen completament enàlgebra lineal,i ja que els morfismes dels espais de Hilbert es poden dividir sempre en morfismes d'espais amb dimensionalitatalef-0($\aleph _{0}$), l'anàlisi funcional de Hilbert tracta sobretot amb l'espai únic de Hilbert de dimensionalitat alef-0, i els seus morfismes.

Els espais de Banach generals són molt més complicats que els espais de Hilbert. No hi ha definició clara de què constituiria una base, per exemple.

Per a qualsevol nombre realp≥ 1, un exemple d'un espai de Banach està donat pelsespais L^p.

En els espais de Banach, una gran part de l'estudi involucra l'espai dual:l'espai de totes funcionals lineals contínues. Com en àlgebra lineal, el dual del dual no és sempre isomorf a l'espai original, però hi ha un monomorfisme natural d'un espai en el seu doble dual sempre. Això s'explica en l'articleespai dual.

La noció dederivadas'amplia a les funcions arbitràries entre elsespais de Banach;resulta que la derivada d'una funció en cert punt és realment una funció lineal contínua.

Aquí enumerem alguns resultats importants de l'anàlisi funcional:

• Teorema de Banach-Steinhausés un resultat en conjunts equicontinus d'operadors.
• Teorema espectraldona una fórmula integral per alsoperadors normalsen un espai de Hilbert. És d'importància central en la formulació matemàtica de lamecànica quàntica.
• Teorema de Hahn-Banachés sobre l'extensió de funcionals continus des d'un subespai a tot l'espai, d'una manera que preservi la norma.
• Teorema de la funció obertaiteorema de la gràfica tancada.
• Teorema del punt fix de Banach

Referències

• Yosida, K.:Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980
• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005,ISBN 0-444-51790-1
• Dunford, N. and Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, and other 3 volums, includes visualization charts
• Brezis, H.: Analyse fonctionnelle, Dunod
• Sobolev, SL: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Lebedev, L.P. and Vorovich, II: Functional anlysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002