Binomi de Newton

Visualització de l'expansió fins a la quarta potència del binomi

ElBinomideNewtonoteorema del binomiés unafórmulaque serveix per a calcular lapotència$n$d'unbinomi$(a+b)$.És per tant una generalització de les fórmules elementals$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$i$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$.Aquestes dues formen part del que s'anomenenIdentitats notables,i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àreesde quadrats i rectangles, ivolumsde cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombrescombinatoris,i diu:

${(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k},\quad \quad \quad \quad \quad (1)$

on elcoeficient binomial${n \choose k}$és el nombre combinatori definit com a${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$,que es llegeix "$n$sobre$k$".El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb$n$creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenattriangle de Tartaglia,triangle de Pascal o triangle aritmètic.

Exemples:

• per$n=2$:$(a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

• per$n=3$:$(a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
• $12^{3}=(10+2)^{3}=10^{3}+3\ 10^{2}\ 2+3\ 10\ 2^{2}+2^{3}=1000+600+120+8=1728$

Quan tenim$(a-b)^{n}$,n'hi ha prou amb escriure-ho com a$(a+(-b))^{n}$,amb el que s'obté$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$i, en general,

${(a-b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}$.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'articlePotència d'un Binomide R. Nolla esmentat més avall com a enllaç extern.

Demostració

Raonament combinatori

Tenint en compte l'expressió$x=(a+b)^{n}$,veiem que$x$es pot escriure com el producte de$n$binomis,$x=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$,on cada$s_{i}=a+b$,i el desenvolupament de$x$és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui$a$o$b$– de cada$s_{i}$.Per exemple, el terme$a^{n}$en el desenvolupament de$x$s'obté seleccionant$a$en cada$s_{i}$.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de$x$queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes$s_{i}$tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de$t=a^{n-1}b$,$t$es pot formar a base d'agafar$b$d'un dels$s_{i}$i$a$de tota la resta. Hi ha$n$formes de seleccionar un$s_{i}$per obtenir la$b$;per tant$t$s'obté de$n$formes diferents en el desenvolupament de$x$,i per tant el seu coeficient és$n$.En general, per$t=a^{n-k}b^{k}$,hi ha

${n \choose k}$

Formes diferents de seleccionar els$s_{i}$per obtenir els$b$s (ja que$k$$b$s se seleccionen a partir de$n$$s_{i}$), i per tant aquest ha de ser el coeficient per a$t$.

Demostració algebraica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és perinducció.Quan$n=0$,es té

$(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.$

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quan l'exponent val$m$.Llavors per$n=m+1$

$(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,$$=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}$

Aplicant la propietat distributiva

$=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

Traient fora del sumatori el terme$k=0$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

fent$j=k-1$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}$

Traient fora del sumatori de la dreta el terme$k=m+1$

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}$

Combinant els sumatoris

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}$

Aplicant laregla de Pascal

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

Afegint dins dels sumatori els termes$m+1$

$=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

La sèrie binomial

Si escrivim$(a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}$podem anomenar$x={\frac {b}{a}}$i escriure$\alpha$en lloc de$n$.La funció$f(x)=(1+x)^{\alpha }$rep el nom de funció binomial i té sentit també si$\alpha$és un nombre complex qualsevol. La seva sèrie de Mclaurin té radi de convergència més gran o igual que 1, segons el valor de$\alpha$,i es coneix com a sèrie binomial o expansió binomial.Aquesta generalitza el Binomi de Newton$(1)$,que és el cas en què$\alpha$és un nombre natural.

${\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots,\end{aligned}}$

on${\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}$,(regla mnemotècnica: hi ha$k$factors en el numerador i$k$factors en el denominador).

Per exemple, quan$\alpha =1/2$i$|x|<1$dona la sèrie següent:

${\sqrt {1+x}}=\textstyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots$.

I quan$\alpha =-1/2$i$|x|<1$;

${\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=\textstyle 1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots$.

Observacions

A les demostracions anteriors es veu que és essencial la propietat commutativa$ab=ba$.Si, per exemple,$A$i$B$fossin dues matrius que no commutessin, aleshores tindríem simplement$(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$o$(A+B)^{3}=A^{3}+A^{2}B+ABA+BA^{2}+AB^{2}+BAB+B^{2}A+B^{3}$.

El Binomi de Newton és molt útil per al càlcul mental. Per exemple, calcular$21^{4}$és molt fàcil si s'escriu com a$(20+1)^{4}$.

Observi's que la suma dels coeficients binomials del binomi de grau$n$és igual a$2^{n}$i la suma dels coeficients que jauen en els llocs senars coincideix amb la suma dels que jauen en els llocs parells.

El terme${n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}$quan$a=1-p$i$b=p$és la probabilitat que el nombre d'èxits sigui exactament$k$en una seqüència de$n$assaigs independents amb una probabilitat fixa$p$d'ocurrència de l'èxit entre els assaigs. A aquesta distribució de probabilitat se li dona el nom dedistribució binomial.

La primera aparició escrita de la sèrie binomial va ser en una carta de Newton a Henry Oldenburg, Secretari de la Royal Society, el 1676.Newton va usar el binomi i la distribució binomial el 1693 per a resoldre un problema sorgit en un joc de daus, per encàrrec de la casa reial de Guillem III.

Comentaris

És famós el vers del poeta portuguèsFernando Pessoa:O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo./ O que há é pouca gente para dar por isso.(El binomi de Newton és tanbellcom laVenus de Milo./ El que passa és que poques persones ho noten.)

Un problema conegut, i no molt fàcil, de càlcul mental és l'anomenatProblema de Rachinsky,que consisteix a calcular mentalment${\dfrac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}$.Hi ha diverses maneres de fer-ho, però potser la mes ràpida és expressar els quadrats com a quadrats d'un binomi de manera que apareguin cancel·lacions. Aquest problema és el que apareix escrit a la pissarra al quadreAritmètica mental. A l'escola pública de S. Rachinsky (1895),del pintor realista rus Nikolay Bogdanov-Belsky.

Vegeu també

• Triangle de Tartaglia
• Identitats notables
• Coeficient Binomial

Enllaços externs

• Potència d'un binomi, per R. Nolla