Georg Cantor

Georg Cantor

Nom original	(de)George Cantor
Biografia
Naixement	(de)George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 3 març 1845 Sant Petersburg (Imperi Rus)
Mort	6 gener 1918(72 anys) Halle (Imperi Alemany)
Causa de mort	infart de miocardi
Residència	Reich alemany(1871–1918) Imperi Rus(1845–1856)
Religió	Luteranisme
Formació	Universitat Humboldt de Berlín Universitat de Halle
Tesi acadèmica	De aequationibus secundi gradus indeterminatis(1867)
Es coneix per	teoria de conjunts
Activitat
Camp de treball	Teoria de conjunts,matemàtiques,lògica,lògica matemàtica,nombre cardinal,nombre ordinal,filosofia de les matemàtiquesitheology and philosophy(en)
Ocupació	matemàtic,filòsof,professor d'universitat
Ocupador	Universitat de Halle
Membre de	Societat Matemàtica de Londres(2008–) Reial Societat d'Edimburg(1905–) Acadèmia de Ciències de Göttingen Acadèmia Alemanya de Ciències Leopoldina
Professors	Karl Weierstrass
Influències	Eduard Heine
Obra
Estudiant doctoral	Alfred Baruch
Localització dels arxius	Arxius de l'Escola Politècnica Federal de Zuric[ CH-001807-7:Hs 585]
Família
Cònjuge	Vally Cantor
Germans	Constantin Cantor Sophie Nobiling
Premis
(1904)Medalla Sylvester

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(Sant Petersburg,3 de marçde1845-Halle,6 de generde1918) fou unmatemàticifilòsofalemany,fundador de lateoria de conjuntsmoderna. Cantor va establir la importància del concepte defunció bijectivaentre elsconjunts,va definir els conceptes deconjunt infiniti deconjunt ben ordenat,i va demostrar que el conjunt delsnombres realsés "més gran" que el conjunt delsnombres naturals,tot i ser infinits ambdós. De fet, delTeorema de Cantorse segueix que per a tot infinit hi ha un infinit més gran, i que, per tant, hi ha una infinitat d'infinits. També va definir els conceptes denombre cardinalinombre ordinalaixí com la seva aritmètica. El treball de Cantor ha estat una contribució molt important dins el camp de les matemàtiques i és, a més a més, d'un gran interès filosòfic.

El treball de Cantor va trobar resistència per part d'alguns matemàtics contemporanis seus comLeopold KroneckeriHenri Poincaré,i després perHermann WeyliL.E.J. Brouwer.Ludwig Wittgensteinva plantejar també algunesobjeccions filosòfiques.Cantor va patir freqüents atacs dedepressióal llarg de tota la seva vida des del1884,que possiblement eren manifestacions d'untrastorn bipolar.

Avui en dia, la gran majoria dels matemàtics que no sónconstructivistesnifinitistesaccepten el treball de Cantor sobre els nombres transfinits i la seva aritmètica i reconeix elcanvi de paradigmaque Cantor va introduir en la matemàtica. En paraules deDavid Hilbert:"Ningú no ens podrà fer fora del paradís que Cantor ha creat."

Biografia

Georg Woldemar Cantor, pare de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, fou nadiu deCopenhaguen,però es traslladà ja de ben jove aSant Petersburg,on trobà fortuna com a corredor de valors. La seva esposa, Maria Anna, provenia d'una família particularment musical. Georg Cantor fou el primer de sis fills, nascut el1845.Creixé en un entorn fortament influenciat per la religió, ja que la seva mare era catòlica romana, però el seu pare s'havia creat en les idees luteranes i era un ferm protestant.

A l'edat dels onze anys, la família es traslladà deRússiaaAlemanya,degut al delicat estat de salut del pare. S'establiren aWiesbaden,una ciutat central de l'estat federal deHesseon, amb 15 anys, Cantor assistí a l'institut. Demostrà ser excel·lent en totes les matèries, però destacava especialment enmatemàtiquesiciència,així que el seu pare decidí encaminar-lo cap a l'enginyeria.Així començà els seus estudis posteriors alPolytechnikum de Zürich,poc després, el seu pare, l'esperança de vida del qual no era molt encoratjadora, el deixà canviar-se a laUniversitat de Berlínper estudiarmatemàtiques.Assistí a classes deWeierstrass,KummeriKronecker.Passà l'estiu del1866a laUniversitat de Göttingeni tornà després aBerlín,on completà la seva dissertació en teoria de conjunts sobrede aequationibus secundi gradus indeterminantis(la indeterminació d'equacions de segon grau).

A l'edat de 23 anys, Cantor ja havia sofert de forts episodis dedepressió,que l'acompanyaren durant la seva vida i s'incrementaren. Després d'obtenir el doctorat el1867,fou professor a una escola de noies, poc després s'establí com a professor adjunt de laUniversitat de Halle,propera aLeipzig.El1869rebé l'habilitació, la nota més alta que es pot aconseguir, per la seva tesi, també en teoria de conjunts.

Durant aquest període s'encaminà cap a l'anàlisi,degut, sobretot, a la influència deHeine,qui desafià Cantor a demostrar el problema obert de la representació única d'una funció mitjançantsèries trigonomètriques.Aquest havia sigut un problema difícil, atacat per diversos matemàtics tals com el mateixHeine,Dirichlet,LipschitziRiemann.La demostració fou completada a l'abril del1870.Publicà, a més, posteriors articles entre1870i1872sobresèries trigonomètriques,fet que demostra la influència de les ensenyances deWeierstrass.

Degut a aquestes feines, entrà en contacte ambDedekind,amb qui establiria una forta relació intel·lectual. Es cartejaren mútuament sobre els seus treballs matemàtics. Aquest primer construí elsnombres realsper mitjà de seccions delsracionals(elstalls de Dedekind) mentre que Cantor els construí per mitjà desuccessions convergentsdeAugustin Louis Cauchyde racionals. Part d'aquesta feina fou la que el portà a pensar en la diferència entreconjunts infinits numerablescom els racionals iconjunts continuscom elsreals.

Al desembre de1873Cantor escrigué aDedekindque podia demostrar que els reals no eren numerables. El famósargument de la diagonalitzacióvingué després.

L'any1874fou important per Cantor, que es casà ambVally Guttmann,una amiga de la seva germana, amb qui tingué sis fills, el darrer nascut el1886.Intercanvià sovint cartes ambDedekind,d'on sorgí la pregunta:

“Pot una superfície (diguem unquadratque inclou els seus límits) ésser únicament referit per unalínia(diguem un segment recte de línia que inclou els punts delineants) de manera que per cada punt de la superfície hi hagi un punt de la línia i, d'altra forma, per cada punt de la línia hi hagi un punt de la superfície? Crec que la resposta d'aquesta qüestió no seria feina fàcil, tot i que la resposta sembla clarament ésser que no i la demostració sembli gairebé innecessària.”

Fou cap al1877quan Cantor demostrà que hi ha unacorrespondència un-a-unentre els punts de l'interval$[0,1]$i els punts d'un espai$p$-dimensional. Ell mateix afirmà “Ho veig, però encara no m’ho puc creure! ".Clar que tingué implicacions en les nocions sobre lesdimensionsde l'espai, unes nocions que havien estat prèviament establides com a indiscutibles i que ara es veien amenaçades. La conclusió arribada semblava minar completament el concepte intuïtiu dedimensió.Tanmateix, el punt clau fou que ladimensióroman invariant alshomeomorfismes,on no només la funció mateixa ha de sercontinuasinó la inversa d'aquesta ha de sercontinuatambé. Aquestes conclusions haurien d'esperar gairebé 40 anys fins a ser extretes, però la feina de Cantor demostrà que la intuïció podia ser prou enganyosa en aquesta àrea. Els articles d'aquest caire que intentà publicar alJournal de Crelletrobaren una forta oposició per part deKronecker,i només veren la llum gràcies a la intervenció deDedekind. Les seves revolucionàries idees foren desenvolupades en una sèrie de treballs que tingueren data entre1879i1884.Durant aquests anys, un seguit de problemes dificultaren la feina de Cantor, que acabà la correspondència amb alguns dels seus amics de la universitat. L'any1881,després de la mort de Heine, proposà aDedekindper al mateix lloc a la universitat, però aquest declinà. A causa d'això, la seva correspondència matemàtica acabà poc després. Tanmateix, començà una fructífera amistat ambGösta Mittag-Leffler,qui li permeté publicar a la seva revista,Acta Mathematica.Els darrers articles foren publicats en unamonografiatituladaGrundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre(Fonaments de la teoria general de les varietats). Aquest fou especialment important per diversos motius, un dels quals per defensa de la crítica que va rebre, citant el seu autor:

“M’adono que amb aquesta empresa meva em trobo amb una certa oposició al punt de vista extensament generalitzat pel que fa a l'infinitmatemàtic i a l'opinió sovint defensada de la naturalesa delsnombres.”

Tanmateix, citant la seva pròpia explicació de l'article:

“El major assoliment delsGrundlagenfou la presentació delsnombres transfinitscom una idea autònoma i una extensió sistemàtica delsnombres naturals.”

En aquest treball els conceptes de naturalesatopològicacomencen a sorgir. Les definicions desubconjunt dens,la idea deconjunt obertitancats'originen amb Cantor. Més tard, aquestes tindrien una repercussió important en elsespais abstractes de Frécheti en el clàssicGrundzüge der Mengenlehre(Principis de la teoria de conjunts) deHausdorff.La feina delsnombres transfinitsfou només la primera passa del programa. Però, per perfeccionar la teoria, necessitava lahipòtesi del continu,que romangué com un dels23 problemes de Hilbert. Aquestes teories foren feroçment atacades, fins i tot al camp personal, per molts matemàtics, especialmentKronecker,que bloquejà gran part de l'avenç del treball de Cantor i no permeté que tornés a la feina deBerlín;altres matemàtics, comKleiniPoincaré,es mostraren també reticents a acceptar-les. El1884,Cantor sofrí una forta crisi de depressió, agreujada per les crítiques, així com ell mateix explica a una carta dirigida aGösta Mittag-Leffler:

“No sé quan podré tornar i continuar amb els meus treballs científics. De moment, no puc fer absolutament res, i em límit només a allò imprescindible per les meves classes; seria molt més feliç si pogués ser científicament actiu, si només tingués la frescor mental...”

Sobre el1885,Gösta Mittag-Leffler començà a dubtar de la feina de Cantor i l'avisà de no publicar uns papers sobrenombres ordinals.Aquest succés desembocà en la parada de la correspondència entre ambdós i poc després, les feines de Cantor començaren a disminuir. S'abocà a treballs filosòfics, un estudi intens de laliteratura isabelinai el problema d'autoriaBacon-Shakespeare,denotant del seu inestable estat mental.

La tèrbola relació ambKroneckeres fou calmant i Cantor abandonà els treballs filosòfics i retornà al campmatemàticambBeiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre(Contribucions als fonaments de la teoria de conjunts transfinits). La primera part d'aquesta feina fou publicada el1895,tractava sobre conjunts simples ordenats. La segona, tot i que fou acabada poc temps després de la primera, sobre conjunts ben ordenats, no fou publicada fins dos anys després. Sembla, aparentment, que pretenia incloure una demostració de lahipòtesi del continu,que tants problemes li portà i que romangué inconclusa.

El1890,Cantor ajudà a la fundació deDeutsche Mathematiker-Vereinigung(Societat matemàtica alemanya) i en presidí la primera conferència aHalleel1891,on presentà el seu famósargument de la diagonalització.A partir del1895,les seves teories foren defensades per matemàtics més joves i enèrgics. Continuà amb feines matemàtiques intermitents, interrompudes per atacs de la seva condició mental que a partir del1904degenerà dràsticament.

Cantor passà els últims anys exercint de professor, tot i que fou excusat de diversos semestres degut a la seva condició. Esperava poder conèixer aRussellen persona, poc després d'haver publicat elsPrincipia Mathematica,però la malaltia i problemes familiars no ho permeteren. Li fou concedit el grau honorari de Doctor en Lleis per laUniversitat de St Andrews,d'Escòcia,però altre cop la seva condició impedí que rebés el premi en persona.

Finalment, Cantor es retirà vers el1913i morí a l'hospital psiquiàtric deHalleel 6 degenerde1918a l'edat de 73 anys. Al final de la seva carrera, els seus assoliments foren reconeguts amb mèrits científics i acadèmics.

Filosofia de l'infinit

Cantor posà lafilosofiai lamatemàticaal mateix nivell en el seuGrundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.Des del seu punt de vista, aquest treball era molt més que una simple introducció a la novateoria de conjunts:oferia també la primera defensa publicada de l'infinit actual,concepte tradicionalment rebutjat per quasi tots els filòsofs, teòlegs i matemàtics. Un exemple és la cèlebre carta deGaussaHeinrich Christian Schumacher,expressant fortament la seva oposició:

"Però sobre la teva demostració, protesto sobretot contra l'ús de la quantitat infinita com una de completa, que en matemàtiques no és mai permesa. L'infinit és només unafaçon de parler[una manera de parlar], en la qual un parla en realitat delímits.''

Cantor era perfectament conscient que la seva novateoria de conjuntsinombres transfinitss'enfrontaria a oposició, molta d'aquesta de caràcter tradicional i de llarga data. Un dels objectius delGrundlagenera precisament demostrar que no hi ha raons per acceptar les velles objeccions als infinits complets reals i que era possible respondre a matemàtics comGauss,filòsofs comAristòtili teòlegs comTomàs d'Aquino.Durant el procés, fou conduït no només a considerar les qüestions epistemològiques que la teoria delsnombres transfinitshavia suscitat sinó també a formular unametafísicaque l'acompanyés. No n'hi havia prou d'argumentar la consistència matemàtica de tal teoria i afirmar-ne, llavors, la legitimitat. Sentia la necessitat de defensar el seu treball de qualsevol forma d'atac i per això considerà també les objeccions filosòfiques i teològiques que es poguessin fer contra l'infinit actual.

Cantor creia que, fossin quines fossin les conclusions a què havien arribat els matemàtics en el passat, les propietats de la finitud no poden ser aplicades a tots els casos d'infinit.Els diversos intents havien portat a contradiccions i malentesos. A una carta aVivanti,el1886,assenyalaAristòtilcom la font del dogma medievalinfinitum actu non datur(l'infinit actual no pot passar), principi bàsic en l'escolàstica. Aquest necessitava confrontació explícita, ja que la seva assumpció que només existien nombres finits acabà prematurament amb la consideració dels nombres infinits.

Un dels arguments més usats era el de l'aniquilació del nombre. Si elsnombres infinitss'admetien, es deia que elsnombres finitsserien empassats per qualsevolinfinit.Per exemple, fossin$a$i$b$dos nombres finits majors que$0$es compleix$a+b>a$i$a+b>b$.Tanmateix, si$b$fos infinit, sense importar el valor de$a$,$a+\infty =\infty$i això sembla contradir la propietat bàsica que la suma de dos nombres positius qualssevol hauria de sobrepassar tots dos. En aquest sentit, es pensava que unnombre infinitaniquilava els finits i, com que això semblava violar la manera en què s'entenien els nombres, l'infinitfou rebutjat per ser inconsistent.

Cantor condemna aquest argument dient que és fal·laç afirmar que els nombres infinits haurien de mostrar les mateixes característiquesaritmètiquesque els finits. A més, apel·lant directament a la seva teoria delsnombres ordinals transfinits,va poder demostrar que alguns nombres infinits eres susceptibles de ser modificats per nombres finits.

Havent-se ja ocupat d'Aristòtil,investigà els treballs d'altres pensadors del seglexvii,que fou un dels més fructífers en l'estudi de la naturalesa de l’infinitamb exemples comLocke,Descartes,SpinozaiLeibniz.Necessitava enderrocar també les seves crítiques per assegurar-se que cap crítica aconseguiria fer descarrilar la seva teoria. Sabent que Déu era inevitablement esmentat en tals jutjaments, es veié obligat a fer consideracions similars. L'argument més utilitzat era que el nombre només es podia predicar des d'allò finit; l'infinit,absolut, pertanyia únicament a Déu. La pregunta de “com d'infinit” esdevenia impossible. Cantor criticà aquesta negativa a predicar res de l'absolut en termes de nombres, de forma similar a l'argument que utilitzà per refutarAristòtil,demostrant que tal conclusions depenien d'un argument circular.

Tot i que semblava que era el primer i únic matemàtic que es prenia seriosament l'infinit actual, trobà consol en dos dels seus predecessors. Els dos foren figures importants en el desenvolupament històric del concepte d'infinit i ambdós havien escrit sobre les seves conseqüències matemàtiques i filosòfiques. Un d'aquest fouG. W. Leibnizi l'altreBernhard Bolzano.

Leibnizfou particularment difícil, ja que la seva opinió de l’infinitsemblava canviar depenent de l'ocasió i el context. Com Cantor mostrà en diverses cites, sovint negà qualsevol creença en l'infinit actual. Tanmateix, en diversos moments treballà en la distinció entre l'infinit actual i el potencial i Cantor el considerà un partidari del primer, com mostra el passatge següent:

"Estic tan a favor de l'actual infinit que, en lloc d'admetre que la Naturalesa l'avorreix, com comunament es diu, opino que la Natura en fa freqüent ús a tot arreu, per mostrar més efectivament les perfeccions del seu Autor. Tot i que crec que no hi ha part de la matèria que no sigui - no dic no divisible - però actualment divisible; i conseqüentment la menor partícula hauria de considerar-se com un món ple d'una infinitud de criatures. ''

Cantor desenvoluparà aquesta idea anys més tard, essent de gran ajuda per a obviar les confrontacions i les pors d'alguns entre la interpretació teològica de l'infinit i elsnombres transfinits.

Contràriament aLeibniz,Bolzanofou un soldat inequívoc de l'infinit absolut. Cantor admirà particularment els seus intents de demostrar que les paradoxes de l'infinit podien ser explicades i que la idea de completituds infinites podia ser introduïda sense contradicció a lesmatemàtiques.De fet, elParadoxien des Unendlichen(Paradoxes de l'infinit), publicat el1821,rebé grans elogis de Cantor per haver fet un important servei tant a lesmatemàtiquescom a lafilosofia.

De totes maneres, criticà el tractament de l'infinit deBolzanoper dos motius. No només quedava el concepte d'infinit actual poc clar matemàticament parlant, sinó que la importància de les idees del poder i el concepte de numeració mai foren desenvolupats. Tot i que en certs treballs es podien trobar suggeriments per a aquestes dues idees, mai trobaren un tractament lúcid i independent. Segons Cantor, aquestes eren nocions fonamentals sense les quals cap teoria de l'actual infinit podia triomfar.

Una de les idees que l'impressionà particularment fou la distinció que feuBolzanoentre els infinitscategoremàtic(actual) isyncategoremàtic(potencial). ElGrundlagenposà especial importància en aquests punts i explorà, anys més tard en els seus treballs filosòfics, encara més aquesta distinció. Per exemple, entre els filòsofs germànics que s'oposaven a l'infinit complet, Cantor destacàJohn Frederick HerbartiWilhel Wundtcom a principals pecadors. La seva idea preconcebuda de l'infinit potencial excloïa cap discussió de l'infinit actual. En una carta al matemàtic i historiador suecGustav Eneström,Cantor resumí la seva oposició de la següent manera:

"Totes les anomenades demostracions contra la possibilitat de nombres actualment infinits són defectuoses, ja que es pot demostrar en cada cas particular i es pot concloure en termes generals també. És el seuπρωτον ψευδος[la primera falsa] que des del principi esperin o imposin les propietats delsnombres finitsals nombres en qüestió, mentre que d'altra banda, si és que són considerats d'alguna manera, han de (en contrast amb els nombres finits) constituir enterament un nou tipus de nombre, la naturalesa del qual depèn completament de la naturalesa de les coses i és un objecte de recerca, però no de les nostres arbitrarietats o prejudicis. "

Herbartfou particularment obert al criticisme de Cantor. El fet de defensar el seu infinit en termes de potencial deixava clar que no hi havia manera que pogués admetre la idea d'un infinit complet o actual. Cantor digué que la natura de les coses havia de ser presa tal com venia i que estava segur que la natura de les coses, tant matemàticament abstracta com concretament física, afirmava l'existència dels seusnombres transfinits.A més, les connexions entre les dues coses, allò abstracte i allò concret, proporcionava un altre nivell en què ell esperava justificar la teoria.

L'essència de les matemàtiques

Cantor reforçà els seus estudisfilosòficssobre la seva teoria amb una anàlisi dels familiars i acceptatsnombres naturals.Tant elsnombres finitscom elsinfinitspodien considerar-se de dues maneres. En la mesura que són ben definits a la ment, distints i diferents de tots els altres components del pensament, servien de manera connectiva i relacional per modificar la substància del pensament mateix. Nombrà la realitat que elsnombres entersassumeixen comintrasubjectivaoimmanent (inherent). En contradicció a la realitat immanent trobem la realitat que els nombres podem assumir concretament, manifesta en objectes del món físic. Aquesta segona realitat procedia delsnombres naturalscom a expressions d'imatges o processos del món físic. Aquest aspecte dels nombres enters, foreninfinitso finits, ho anomenà comtranssubjectiuotransitori.

Cantor afirmava l'existència tant de l'aspecte físic com l'ideal de la noció de nombre. Aquestes realitats duals, de fet, sempre es trobaven juntes, de manera que si un concepte posseïa la realitat immanent sempre podíem trobar la transitòria també. Trobar la connexió entre ambdues fou un dels grans problemes de la sevametafísica.Adjudica la necessària coincidència d'aquests dos aspectes del nombre a la unitat de l'univers mateix. Id est, és possible estudiar només la realitat immanent sense necessitat de confirmació o confrontació amb els sentits físics. No tenir la necessitat de buscar el vincle i la dualitat física permet a les matemàtiques independitzar-se de qualsevol altra ciència i tenir gran llibertat en la creació dels conceptes matemàtics. En aquest context que Cantor ofereix el seu famós dictum de què l'essència de lesmatemàtiquesresideix en la seva llibertat. Així ho expressa al seuGrundlagen:

"Precisament per aquesta posició extraordinària que distingeix lesmatemàtiquesde totes les altres ciències, i que dona una explicació per la relativa llibertat i facilitat d'aconseguir-ho, mereix especialment el nom de matemàtiques lliures, una designació que, si pogués triar, preferiria molt més que l'acostumadamatemàtica pura."

Així afirma la llibertat de lesmatemàtiquesper acceptar la creació i aplicació de noves idees basant-se solament en els pilars de la consistència intel·lectual. Llavors, els matemàtics es trobaven només lligats al fet que els seus conceptes no permetessin contradiccions internes i que seguissin lesdefinicions,axiomesiteoremesprèviament donats. Llavors, en aquest context, quins són els criteris per introduir nous nombres? El punt clau residia únicament en la definició. Així, mentre els nous nombres foren diferents dels altres tipus de nombres, així com pogueren ser distingits entre ells mateixos, llavors acabàvem de definir un nou nombre i s'havia de considerar la seva existència.

L'única objecció possible a aquesta doctrina de llibertat era la creació de noves idees sense correctives. Però, tanmateix, Cantor recalca que són només correctives. Si una idea era infructífera o innecessària, ràpidament es faria evident i, per raons d'insuficiència, seria abandonada o oblidada. Les alternatives donades perKroneckeri els seus seguidors de permetre en la seguretat dels nombres finits li semblaven a Cantor molt perilloses.

Per reforçar aquesta última idea, Cantor apel·là a figures llegendàries de la història de les matemàtiques. Sense aquesta llibertat matemàtica personatges comGauss,Cauchy,Abel, Jacobi,Dirichlet,Weierstrass,HermiteiRiemannmai haurien fet un avenç significatiu en els seus treballs.Kummermai hauria pogut formular els seusnombres idealsi, conseqüentment, el món no podria -afegeix Cantor amb astúcia- apreciar les feines deKroneckeriDedekind.

Les matemàtiques, creia Cantor, eren l'única ciència justificada d'alliberar-se de qualsevol cadena metafísica. En canvi, les matemàtiques aplicades i la mecànica teòrica trobaven en la metafísica tant els seus continguts com els seus objectius. La matemàtica, mitjançant la virtut de la seva independència de qualsevol restricció imposada per la realitat externa del món espaciotemporal, era completament lliure. Aquesta llibertat, insistí Cantor, era la seva essència.

Influència religiosa

La religió, heretada de jove a través dels seus pares, tingué el paper important en la vida i pensaments de Cantor. No només fou necessària per enderrocar els arguments que diferentsfilòsofsiteòlegsdonaven contra l’infinit actual,si no que s'escolà com a part intrínseca dels seus treballs. Després de les crisis nervioses del1884,Cantor retornà a lesmatemàtiquesdoblement desencoratjat: no només semblava que lahipòtesi del continuera un camí sense sortida, si no queGösta Mittag-Lefflerpareixia haver tancat l'última porta de les esperances de ser entès per la comunitat matemàtica. Aïllat alHalle,començà a ensenyarfilosofiai a cartejar-se amb teòlegs que li proporcionaren una sortida natural a la seva necessitat de comunicació.

Tanmateix, sembla que el contacte amb els teòlegs cristians només reforçà la simpatia que ja sentia per ells. A principis de1884ja confessava a Gösta Mittag-Leffler que ell no era el creador de la seva feina, si no només un missatger. Déu li havia donat la inspiració, deixant només a Cantor la responsabilitat d'escriure els articles i organitzar-los. Psicològicament, aquesta carta és molt reveladora perquè sembla demostrar que ja abans de la crisi nerviosa, no volia atribuir-se el mèrit dels seus treballs i preferia transferir la responsabilitat de les seves idees provocatives a un altre focus.

A més, també resulta important el fet que Cantor cregués en l'absoluta veritat de la seva teoria de conjunts perquè li havia sigut revelada. Així, no només es convertia en un missatger de Déu, si no també en un ambaixador. D'aquesta manera, hauria cregut que era el seu deure utilitzar els coneixements que li havien estat donats per prevenir l'Església de cometre greus errors en relació a la naturalesa de l'infinit.En una carta aJeilerel1888,Cantor declarà:

“No tinc cap dubte de la veritat dels transfinits, els quals he descobert gràcies a l'ajuda de Déu i què, en la seva diversitat, he estudiat per més de vint anys; cada any, i gairebé cada dia, em porta més endins en aquesta ciència.”

Fou encara més directe en una carta escrita aHermitea principis de1894on explicava que fou la voluntat de Déu apartar-se dels afers matemàtics per treballar amb aspectes teològics i filosòfics:

“Però ara agraeixo a Déu, omniscient i tot bondadós, que Ell sempre m’ha denegat la realització d'aquest desig [el d'aconseguir una posició a la universitat deGöttingeno a la deBerlín], perquè Ell llavors m’ha limitat, a través d'un profund contacte amb la teologia, a servir-lo a Ell i la Seva Sagrada Església Catòlica Romana molt millor del que he sigut capaç amb la meva preocupació exclusiva per les matemàtiques.”

De cop, Cantor senyalà les nombroses decepcions i els dubtes acumulats durant més de dues dècades. La falta de confiança en si mateix i en els seus poders matemàtics reflectien la frustració que devia sentir en ser incapaç de resoldre lahipòtesi del continu,combinat amb els atacs deKroneckeri l'aparent negativa de Gösta Mittag-Leffler sobre els seus recents descobriment sobre els tipus d'ordre. Cantor acabà abandonat els seus companys matemàtics per trobar consol i inspiració entre els teòlegs i filòsofs de l'Església. La religió renovà part de la seva confiança i alimentà la creença en la veritat dels seus treballs. Inspirat i ajudat per Déu, estava segur que la seva feina era significativa, tot i el fracàs dels matemàtics a l'hora d'intentar entendre la importància dels seus descobriments.

Obra

ElConjunt de Cantor

Cantor va ser el fundador de lateoria de conjuntsmoderna (1874-84). Fou el primer a definir els conceptes apropiats per tal d'estudiar i comparar elsconjunts infinitsen funció de la seva mida. Va demostrar que donat qualsevol conjuntA,el conjunt de tots els subconjunts deA,anomenat elconjunt potènciadeAté una mida més gran que la mida deA(aquest fet és conegut com elteorema de Cantor). Així hi ha una jerarquia infinita de les mides de conjunts infinits, de la qual sorgeixen elscardinalstransfinitsi elsnombres ordinals,i la seva peculiar aritmètica. La notació que emprà per als nombres cardinals, i que es continua utilitzant, fou la lletra Hebrea$\aleph$amb un nombre ordinal com a subíndex; per als ordinals va utilitzar la lletra Grega$\omega$.(falta ampliar i detallar...)

Cantor fou el primer a apreciar el valor de lescorrespondències bijectivesen la teoria de conjunts. Va definir el concepte deconjunt finiticonjunt infinit,diferenciant aquest darrer enconjunt numerableiconjunt no numerable.Hi ha una correspondència bijectiva entre qualsevol conjunt numerable i el conjunt de tots elsnombres naturals;tots els altres conjunts infinits són no numerables. Va demostrar que el conjunt delsnombres racionalsés numerable, i que el conjunt delsnombres realsno ho és i és, per tant, estrictament major. Lacardinalitatdels nombres naturals és$\aleph _{0}$;el dels reals és més gran, i és almenys$\aleph _{1}$($\aleph _{1}$és el cardinal més petit després de$\aleph _{0}$).

Els primers articles de Cantor són sobreteoria de nombres,el tema de la seva tesi. Sota el suggeriment d'Eduard Heine,Professor a Halle, Cantor va interessar-se per l'Anàlisi Matemàtica.Heine proposà a Cantor de resoldre un problema obert queDirichlet,Lipschitz,Bernhard Riemann,i el mateix Eduard Heine no havien pogut resoldre: la unicitat de la representació d'unafunciómitjançantsèries trigonomètriques.Cantor va resoldre el problema l'any 1869. Entre 1870 i 1872, Cantor va publicar més articles sobresèries trigonomètriques,incloent-ne un on definia elsnombres irracionalscom una seqüència convergent denombre racionals.Dedekind, amb qui Cantor va fer amistat el 1872, cita aquest article aquell mateix any en l'article on ell mateix primer va desenvolupar la seva celebrada definició dels nombres reals mitjançant lestalladures de Dedekind.

L'article de Cantor del 1874, "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers",marca el naixement de la teoria de conjunts. Va ser publicat aJournal de Crelle,malgrat l'oposició deKronecker,gràcies al suport deDedekind.Prèviament a aquest article, sempre s'havia suposat que totes les col·leccions infinites tenien la "mateixa mida"; Cantor fou el primer a demostrar que hi havia més d'un tipus d'infinit. Esdevingué el primer a utilitzar la noció debijeccióper a diferenciar els tipus d'infinit. Va demostrar que el conjunt dels nombres reals no ésnumerable.El 1891 va tornar a demostrar-ho mitjançant el famós i elegantargument diagonal.

L'article de 1874 també demostra que el conjunt delsnombres algebraics,és a dir, el conjunt delszerosd'equacions polinòmiquesambcoeficientsenters,és numerable. Els nombres reals que no són algebraics s'anomenennombres transcendents.Liouvilleja havia establert l'existència de nombres transcendents l'any 1851. Cantor havia demostrat que el conjunt delsnombres realsno era numerable i que la unió d'una quantitat numerable de conjunts numerables és numerable. Com que un nombre real és o bé algebraic o bé transcendent, el conjunt de nombres transcendents no és numerable. Així, el conjunt dels nombres transcendents és igual de gran que el conjunt dels nombres reals, i "gairebé tot" nombre real ha de ser transcendent. Cantor va remarcar que efectivament ell havia demostrat un teorema ja demostrat perLiouville,que hi ha una quantitat infinita de nombres transcendents en cada interval de nombres reals.

El 1874, Cantor va començar a buscar unabijeccióentre els punts del quadrat unitat i els punts de l'interval unitat.En la carta de l'any 1877 aDedekind,Cantor demostra un resultat molt més general: que hi ha una bijecció entre els punts de l'interval unitat i tots els punts en un espaip-dimensional. Sobre aquest descobriment Cantor va escriure (en francès) "Ho veig, però no ho puc creure!" Aquest resultat sorprenent té implicacions en geometria i la noció de dimensió.

El1878,Cantor va presentar un altre article alJournal de Crelle,que altra vegada va desagradar aKronecker.Cantor volia retirar l'article, però Dedekind el va persuadir de no fer-ho; a més a més,Weierstrassdonava suport a la seva publicació. Cantor no va enviar mai més res alJournal de Crelleper a publicar.

Aquest article precisava la noció de bijecció i definia el concepte deconjunt numerablecom el de conjunt que pot ser posat en correspondència bijectiva amb el conjunt delsnombres naturals.Cantor introdueix la noció de "potència" (un terme que pren deJakob Steiner) oequipotènciade conjunts; dos conjunts són equipotents (tenen la mateixa potència) si hi ha una correspondència bijectiva entre ells. Després demostra que el conjunt dels nombres racionals té la potència infinita més petita, i que$\mathbb {R} ^{n}$té la mateixa potència que$\mathbb {R}$.A més a més, una quantitat numerable de còpies de$\mathbb {R}$té la mateixa potència que$\mathbb {R}$.Mentre que va utilitzar sovint el concepte denumerable,no va escriure la paraula "numerable" fins al 1883. Cantor també hi analitza la seva teoria sobre la dimensiódimensió,insistint que la sevaaplicacióentre l'interval unitat i el quadrat unitat no era continu.

Entre el1879i el 1884, Cantor va publicar una sèrie de sis articles aMathematische Annalenque junts formen una introducció a la seva teoria de conjunts. L'editor va accedir a publicar aquests articles tot i la creixent oposició a les idees de Cantor promoguda per Kronecker. Kronecker admetia un concepte matemàtic només si aquest podia ésser construït amb una quantitatfinitade passos a partir dels nombres naturals, els quals considerava intuïtivament donats. Per a Kronecker, la jerarquia de Cantor dels infinits era inadmissible.

El cinquè article d'aquesta sèrie, "Foundations of a General Theory of Aggregates", publicat el 1883, fou el més important dels sis i fou publicat en una monografia, a part. Contenia la rèplica de Cantor als opositors de les seves idees i mostra com elsnombres transfinitssón una extensió dels nombres naturals. Comença definint els conjuntsben ordenats.Elsnombres ordinalssón introduïts com tipus d'ordres dels conjuntsben ordenats.Cantor defineix l'addició i la multiplicació delsnombres cardinalsi delsnombres ordinals.El 1885, Cantor estén la seva teoria dels tipus d'ordre de manera que els nombres ordinals esdevenen simplement una classe de tipus d'ordre.

L'article de Cantor del 1883 revela que era ben conscient de l'oposició que les seves idees tenien:

"... I realize that in this undertaking I place myself in a certain opposition to views widely held concerning the mathematical infinite and to opinions frequently defended on the nature of numbers."

D'aquí que dediqui molt espai a justificar la seva feina, defensant que els conceptes matemàtics poden ser introduïts lliurement sempre que no entrin encontradicciói estiguin definits a partir de conceptes ja acceptats. També cita aAristòtil,Descartes,Berkeley,Leibniz,iBolzanoen parlar de l'infinit.

Cantor fou el primer a formular el que després es coneixeria com laHipòtesi del Continuo CH: no hi ha cap conjunt la cardinalitat del qual sigui més gran que la del conjunt dels nombres naturals i a la vegada més petita que la del conjunt dels nombres reals (o equivalentment, la cardinalitat del conjunt dels nombres reals ésexactament$\aleph _{1}$,en lloc dealmenys$\aleph _{1}$). La incapacitat de demostrar la Hipòtesi del Continu va causar a Cantor ansietat considerable, però retrospectivament és perfectament comprensible: un resultat deGödeldel1940i un resultat dePaul Cohendel1963mostren els dos junts, que no es pot demostrar la Hipòtesi del Continu ni la seva negació en la teoria estàndard de la teoria de conjunts deZermelo-Fraenkelmés l'Axioma de l'elecció(ZFC).

El1882,la rica correspondència matemàtica que hi havia hagut entre Cantor i Dedekind va acabar-se. Cantor començà una interessant correspondència amb Mittag-Leffler de Suïssa, i aviat va començar a publicar a la revista de Mittag-LefflerActa Mathematica.Però el 1885, Mittag-Leffler va demanar a Cantor que retirés un article d'Actamentre l'estava revisant, escrivint que "... about one hundred years too soon." Cantor accedí, però va escriure a un tercer:

"Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which to me seemed too great a demand!... But of course I never want to know anything again aboutActa Mathematica."

Així va finalitzar la seva correspondència amb Mittag-Leffler, com ho havia fet el brillant desenvolupament de Cantor sobre la teoria de conjunts els 12 anys precedents. Mittag-Leffler tenia bones intencions, però aquest incident revela com fins i tot els més brillants contemporanis de Cantor sovint no foren capaços d'apreciar el seu treball.

El1895i el1897,Cantor va publicar un article en dues parts aMathematische AnnalenambFelix Kleincoma editor; aquests van ser els seus darrers articles significatius en teoria de conjunts. (La traducció anglesa és Cantor1955.) El primer article comença definint el que és unconjunt,subconjunt,etc., en termes semblants als d'avui en dia. Els conceptes d'aritmèticacardinaliordinalsón revisats. Cantor volia incloure en el segon article una demostració de laHipòtesi del continu,però hagué de conformar-se exposant la seva teoria delsconjunts ben-ordenablesi elsnombres ordinals.Cantor intentà demostrar que siAiBsón conjunts ambAequipotent a un subconjunt deBiBés equipotent a un subconjunt deA,aleshoresAiBsón equipotents.Ernst Schröderhavia volgut demostrar aquest teorema una mica abans, però la seva demostració, com la de Cantor, tenia defectes.Felix Bernsteinva proporcionar una demostració correcta l'any1898enla seva tesi de doctorat; d'aquí el nom delteorema de Cantor-Schröder-Bernstein.

Al voltant d'aquesta època, lesparadoxesde la teoria de conjunts començaren a treure el cap. En un article de l'any1897paper en un tema no relacionat,Cesare Burali-Fortifa esment de la primera de les paradoxes, laparadoxa de Burali-Forti:elnombre ordinaldel conjunt de tots els ordinals ha de ser un ordinal i això comporta una contradicció. Cantor havia descobert aquesta paradoxa el 1895, i la descriví en una carta del 1896 aHilbert.Curiosament, Cantor va ser molt crític amb l'article de Burali-Forti.

El1899,Cantor va descobrir el seuepònima laparadoxa:quina és la cardinalitat del conjunt de tots els conjunts? Clarament ha de ser el cardinal més gran possible. Però per a qualsevol conjuntA,la cardinalitat de la potència deAés estrictament major que la cardinalitat deA(pelteorema de Cantor). Aquesta paradoxa, juntament amb la de Burali-Forti, va portar a Cantor a reformular rel seu concepte delimitació de mida,^{fact check needed}d'acord amb la qual la col·lecció de tots els ordinals, de tots els conjunts, és una "multiplicitat inconsistent" que és "massa gran" per a ser un conjunt. Avui les anomenaríemclasses pròpies.

Una visió comuna entre els matemàtics és que aquestes paradoxes, juntament amb laparadoxa de Russell,demostren que no és possible prendre una "intuïtiva",o no axiomàtica, una aproximació a la teoria de conjunts sense risc decontradicció.De segur que aquestes foren algunes de les motivacions que portaren aZermeloi d'altres a produiraxiomatitzacionsde la teoria de conjunts. D'altres observaren, això no obstant, que les paradoxes no apareixien des d'un punt de vista informal motivat perla jerarquia iterativa,que pot ser vist com una explicació de la idea de la limitació de mida. D'altres també qüestionen si la formulació Fregueana de la teoria de conjunts intuïtiva (que fou el sistema directament refutat per la paradoxa de Russell) és realment fidel a la interpretació de la concepció kantiana.

El treball de Cantor va atraure una atenció favorable després del celebrat encomiam de Hilbert. En conferències públiques pronunciades al primerCongrés Internacional de Matemàtics,que tingueren lloc a Zuric el 1897,HurwitziHadamardambdós van expressar la seva admiració per la teoria de conjunts de Cantor. En aquest congrés, Cantor també va renovar la seva amistat i correspondència amb Dedekind.Charles Peircea Amèrica també elogià la teoria de conjunts de Cantor. El1905,Cantor va començar una correspondència, que després seria publicada, amb el seu admirador i traductor anglèsPhilip Jourdain,sobre la història de lateoria de conjuntsi sobre les idees religioses de Cantor.

Vegeu també

• pols de Cantor
• conjunt de Cantor
• nombre cardinal
• nombre ordinal
• Infinit
• Cardinalitat del continu

Bibliografia

• Literatura primària en anglès:
  • Cantor, Georg, 1955 (1915).Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers.Philip Jourdain,ed. and trans. Dover.
  • Ewald, William B., ed., 1996.FromKanttoHilbert:A Source Book in the Foundations of Mathematics,2 vols. Oxford Uni. Press.
  • 1874. "On a property of the set of real algebraic numbers," 839-43.
  • 1883. "Foundations of a general theory of manifolds," 878-919.
  • 1891. "On an elementary question in the theory of manifolds," 920-22.
  • 1872-82, 1899. Correspondence with Dedekind, 843-77, 930-40.
• Literatura secundària:
  • Aczel, Amir D., 2000.The mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Human Mind.Four Walls Eight Windows. A popular treatment of infinity, in which Cantor is the key player.
  • Dauben, Joseph W., 1979.Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.Harvard Uni. Press. The definitive biography to date.
  • Ivor Grattan-Guinness,2000.The Search for Mathematical Roots: 1870-1940.Princeton Uni. Press.
  • Hallett, Michael, 1984.Cantorian set theory and limitation of size.Oxford Uni. Press.
  • Paul Halmos,1998 (1960).Naive Set Theory.Springer.
  • Hill, C. O., and Rosado Haddock, G. E., 2000.Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics.Chicago: Open Court. Three chpts. and 18 index entries on Cantor.
  • Roger Penrose,2004.The Road to Reality.Alfred A. Knopf. Chpt. 16 reveals how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
  • Rudy Rucker,2005 (1982).Infinity and the Mind.Princeton Uni. Press. Deeper than Aczel.
  • Suppes, Patrick, 1972 (1960).Axiomatic Set Theory.Dover. Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, thereby revealing Cantor's importance for the edifice of foundational mathematics.
  • Ioan James.Remarkable Mathematicians. From Euler to von Neumann.

Enllaços externs

• O'Connor,John J.;Robertson,Edmund F. «Georg Cantor» (en anglès).MacTutor History of Mathematics archive.School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:Set theoryby Thomas Jech.