Nombre construïble

Unpunten elpla euclidiàés unpunt construïblesi, donat unsistema de coordenadesfix (o unsegment linealfix delongitudunitària), el punt pot ser construït ambregle i compàs.Unnombre complexés unnombre construïblesi el seu punt corresponent en el pla euclidià és construïble a partir dels eixos de coordenades habitualsxiy. Es pot demostrar que unnombre realés construïblesi i només si,donades una línia de longitud u i una línia de longitud |r| pot ser construït amb unaconstrucció amb regle i compàs.^[1]També es pot demostrar que un nombre complex és construïblesi i només sila sevareali la sevapart imaginàriasón construïbles.

El conjunt de nombres construïbles poden ser unacaracteritzaciócompleta en el llenguatge deteoria de cossos.Això té l'efecte de transformar les preguntes geomètriques dels problemes deconstrucció amb regle i compàsenàlgebra.Aquesta transformació porta a la solució de diversos problemes matemàtics que van resistir l'atac durant diversos segles.

Definicions geomètriques

La definició geomètrica d'un punt construïble és la següent. Primer, donats dos punts diferentsPiQen el pla, siguiL(P,Q) l'única línia que passa perPiQ,i siguiC(P,Q) l'únic cercle amb centre aP,passant perQ.(Observem que l'ordre dePiQimporta pel cercle.) Per convenció,L(P,P) =C(P,P) = {P}. Llavors un puntZésconstruïble a partir deE, F, G i Hsi: o bé

Zestà a laintersecciódeL(E,F) iL(G,H), onL(E,F) ≠L(G,H);
Zestà a la intersecció deC(E,F) iC(G,H), onC(E,F) ≠C(G,H);
Zestà a la intersecció deL(E,F) iC(G,H).

L'ordre deE,F,G,iHen la definició anterior és irrellevant, les quatre lletres es podenpermutarde qualsevol manera.Zés construïble a partir deE,F,GiHsi cau a la intersecció de qualsevol de dues línias diferents, o de qualsevol cercles diferents, o d'una línia i un cercle, on aquestes línies i/o cercles poden ser determinats perE,F,G,iH,de la manera prèviament explicada.

Ara, siguiAiA′ qualsevol dos punt fixos diferents del pla. Un puntZésconstruïblesi: O bé

Z=A;
Z=A′;
existeixen puntsP₁,...,P_n,ambZ=P_n,tal que per totsj≥ 1,P_{j+ 1}és construïble a partir de punts en el conjunt{A,A′,P₁,...,P_j}.

Zés construïble si o bé ésAoA′, o si es pot obtenir a partir d'una seqüència finita de punts començant perAiA′, on cada nou punt és construïble a partir dels punts anteriors de la seqüència.

Per exemple, el punt central d'AiA′ es defineix de la següent manera: els cerclesC(A,A′) iC(A′,A) es tallen en dos punts diferents; aquests punts determinen una única línia, i el centre és la intersecció d'aquesta línia ambL(A,A′).

Transformació en àlgebra

Tots elsnombres racionalssón construïbles, i tots els nombres construïbles sónnombres algebraics.Així mateix, siaibsón nombres construïbles ambb≠ 0, llavorsa−bia/bsón construïble. Per tant, el conjuntKde tots els nombres complexos construïbles formen uncos,a subcos del cos de nombres algebraics.

A més a més,Kés tancat amb les arrels quadrades i laconjugació complexa.Aquest fet pot utilitzar-se per caracteritzar el cos de nombres construïbles, perquè, en el fons, les equacions que defineixen línies i cercles són no de major grau que una quadràtica. La caracterització és la següent: un nombre complex és construïblesi i només sies troba en un cos al cap de munt d'una torre finita d'extensions quadràtiques,començant amb el cos racionalQ.zés construïblesi i només siexisteix una torre de cossos.

$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n}$

onzestà aK_ni per tot 0 ≤j<n,la dimensió [K_{j+ 1}:K_j] = 2.

Construccions impossibles

La caracterització algebraica dels nombres construïbles dona unacondició necessàriamolt important per a la constructibilitat: sizés construïble, llavors és algebraic, i el seu polinomi irreductible mínim té grau i potència de 2, o equivalentment, l'extensió del grupQ(z)/Qté dimensió i grau 2. Aquest fet és fàcilment constatable, (però no és fàcil de provar) el contrari és fals — no és unacondició suficientper a la constructibilitat. De totes maneres, aquest defecte es pot esmenar prenentclausura normaldeQ(z)/Q.

La no-constructibilitat de certs nombre demostra la impossibilitat de resoldre alguns problemes clàssics de geomètrica perconstrucció amb regle i compàsintentats pels filòsofs de l'antiga Grècia.En el següent quadre, cada fila representa un problema geomètric de construcció amb regle i compàs. La columna de l'esquerra dona el nom del problema. La segona columna dona una formulació algebraica equivalent del problema. En altres paraules, el problema té soluciósi i només sicada nombre en el conjunt de nombres donats és construïble. Finalment, l'última columna proporciona elcontraexemplemés senzill que es coneix. Dit d'una altra manera, el nombre en l'última columna és un element del conjunt de la mateixa fila, però no és construïble.

Problema de construcció	Conjunts associats de nombres	Contraexemple
La duplicació del cub	$\left\{{\sqrt[{3}]{x}}:x{\mbox{ és construïble}}\right\}$	${\sqrt[{3}]{2}}$ no és construïble, perquè el seu polinomi mínim té grau 3 aQ
La trisecció de l'angle	$\left\{\cos \left({\frac {\arccos x}{3}}\right):x{\mbox{ és construïble}}\right\}$	$\cos \left({\frac {\arccos(1/2)}{3}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)\right)$ no és construïble, perquè $2\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)$ el polinomi mínim té grau 3 aQ
La quadratura del cercle	$\left\{{\sqrt {\pi }}\right\}$	${\sqrt {\pi }}$ no és construïble, perquè no és algebraic aQ
Construint tots els polígons regular	$\left\{e^{2\pi i/n}:n\in \mathbb {N},n\geq 3\right\}$	$e^{2\pi i/7}$ no és construïble, perquè 7 no és unnombre primer de Fermat