Ondeta

Ondeta de Daubechies i la versió escalada

Unaondetaés unafunció matemàticaque divideix un senyal en diferents components freqüencials, i després estudien cada component amb una resolució que depèn de la seva escala.

La transformada d'ondeta o transformada de Fourier

La teoria de latransformada de Fourierdiu que un senyal pot expressar-se com l'adició d'una sèrie, possiblement infinita desinusicosinus.Coneixem totes les components freqüencials delsenyal,però no sabem on estan, és a dir, a quin temps està associat cada component freqüencial.La solució aplicada aquí típicament és tallar el senyal en diferents parts i analitzar-les per separat. Però, en agafar instants de temps suficientment curts, la transformada de Fourier dona resultats no desitjats. Aquests efectes no desitjats són deguts alprincipi d'incertesa de Heisenberg,que, en termes de processament de senyals, indica que és impossible saber lafreqüènciaexacta i el temps en què ocorre aquesta freqüència en un senyal.

La transformada d'ondeta resol aquest problema. La diferència bàsica respecte a Fourier és que les funcions bases (ondetes mare) tenen una duració finita, per tant ens permeten ubicar les components de freqüència en un instant de temps. En aquesta mena de transformada fem servir una finestra escalable que es desplaça pel senyal i calcula l'espectre per cada posició. Repetim aquest procés diverses vegades canviant la longitud de la finestra i s'obtenen una sèrie de representacions temps-freqüència del senyal; per això podem parlar d'una anàlisi multi-resolució. Per les ondetes no fem servir el terme representacions temps-freqüència, (freqüència es reserva per a transformades de Fourier) sinó de temps-escala. L'escala és inversament proporcional a la freqüència; així direm escala gran per parlar de tot el senyal i escala petita per fixar-nos ens els detalls. Per a les escales grans fem servir finestres grans, per a escales petites, finestres petites. Gràcies a aquest procés, la transformada d'ondeta és més útil que no pas la de Fourier per a senyals que presenten pics o irregularitats no periòdiques.

Ondeta mare

Totes les ondetes són variacions d'escala itranslaciód'unaondeta mare$\psi (t)\$:

$\psi _{s,\tau }(t)={1 \over {\sqrt {s}}}\psi \left({{t-\tau } \over s}\right).$

Totaondeta mare$\psi (t)\$ha de complir la condició d'admissió

$\int _{}^{}{\frac {|\Psi (w)|^{2}}{|w|}}dw>+\infty$,

essent$\Psi (w)\$la transformada de Fourier de$\psi (t)\$.Aquesta condició d'admissibilitat implica que la transformada de Fourier de$\psi (t)\$s'anul·la per$w=0\$,és a dir,

$|\Psi (0)|^{2}=0\$.

Això vol dir que tota ondeta ha de tenir unespectrepas-banda. D'altra banda, un zero a freqüència zero implica també que el valor mitjà de l'ondeta en el domini del temps ha de ser zero,

$\int _{}^{}\psi (t)dt=0\$i per tant, ha de ser oscil·latòria.

Meyer

Morlet

Mexican Hat

Breu història

• El 1807Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830) va desenvolupar l'anàlisi freqüencial que va rebre el seu nom. Això va obrir portes a càlculs totalment nous.Després d'això, molts matemàtics van començar a investigar sobre anàlisi escalable. La primera referència que es té d'ondeta data del 1909 i apareix a l'apèndix de la tesi d'Alfred Haar.
• En els anys 1830 nombrosos grups d'estudi independents van aprofundir sobre funcions base d'escala variable.Paul Lévyva veure que la funció base de Haar era superior a lesfuncions basede Fourier a l'hora d'analitzar detalls complicats alMoviment brownià.
• Entre el 1960 i el 1980 els matemàticsGuido WeissiRonald R. Coifmanvan estudiar els elements més simples d'un espai de funcions, denominats àtoms, i van trobar la manera de reconstruir funcions fent servir aquests "àtoms". El 1980GrossmaniMorletvan definir el concepte d'ondeta en el context de la física quàntica.
• Després del 1980: El 1985Stéphane Mallatva fer un gran treball d'investigació en processament digital d'imatge. Va descobrir relacions entre filtres mirall en quadratura, algorismes de piràmide i bases ortonormals d'ondícules.Inspirat per aquest últim,Yves Meyerva idear les primeres ondícules no-trivials. Uns quants anys més tard,Ingrid Daubechiesva fer servir el treball de Mallat per fer un conjunt de funcions base ortonormals que són la pedra angular de les ondetes d'avui en dia.

Aplicacions de l'ondeta

Igual que amb la Transformada de Fourier, hi ha latransformada contínua d'ondetaitransformada discreta d'ondeta.La contínua es fa servir en anàlisi de senyals i, per tant, en el camp de la investigació científica, mentre que la discreta té usos més pràctics com ara:

• Compressió de dades.
• Eliminació de soroll.
• En comunicacions, permodularsenyals.
• Detecció d'imatges.

Això ens dona usos tan variats com ara: ladinàmica molecular,l'astrofísica,l'òptica,l'estudi de les turbulències i lamecànica quàntica,elProcessament digital d'imatges,lesanàlisis de sang,l'anàlisi d'electrocardiogrames,l'estudi delADN,l'anàlisi de proteïnes, lameteorologia,elprocessament de senyalsen general, elReconeixement de la parla,els gràfics per ordinador, l'anàlisi multifractal i en el camp deBioestadística.

En el camp de la compressió de dades, hi ha elJPEG 2000,un estàndard de compressió d'imatges que es basa en latransformada discreta d'ondeta.

Bibliografia

• Graps,Amara «An introduction to wavelets».IEEE Computational Science and Engineering,2, 2, 2-1995, pàg. 50–61.DOI:10.1109/99.388960.

Enllaços externs

• «Wavelets: ver el bosque y los árboles» (en castellà). U.S. National Academy of Sciences. Arxivat de l'originalel 16 de setembre 2018. [Consulta: 14 febrer 2023].