Operació matemàtica

En el seu significat més simple enmatemàtiquesilògica,unaoperacióés una acció o procediment que produeix un valor nou a partir d'un o més valors d'entrada. Hi ha dos tipus comuns d'operacions:unàriesibinàries.Les operacions unàries impliquen només un valor, com lanegaciói lesfuncions trigonomètriques.Les operacions binàries, d'altra banda, prenen dos valors, i inclouensuma,resta,multiplicació,divisió,iexponenciació.

Les operacions poden implicar objectes matemàtics diferents dels nombres. Els valors lògicscertifalses poden combinar emprantoperacions lògiquescom ara laconjunció-i-, ladisjunció-o- i lanegació-no.Es poden efectuar operacions de suma i resta ambvectors.Lesrotacionses poden combinar utilitzant l'operaciócomposició de funcions,que realitza primer una rotació i llavors, sobre el resultat de la primera rotació, l'altra. Les operacions ambconjuntsinclouen les operacions binàriesunióiintersecciói l'operació unària decomplement.Les operacions ambfuncionsinclouen lacomposició de funcionsi laconvolució.

Pot ser que les operacions no estiguin definides per a tots els valors possibles. Per exemple, en el conjunt dels nombres reals, 1 no es pot dividir entre 0 i no es poden obtenir arrels quadrades dels nombres negatius. Del conjunt dels valors per als quals una operació està ben definida se'n diu el seudomini.Del conjunt que conté els valors produïts per l'operació se'n diu elcodomini,però del conjunt format només pels valors que s'obtenen com a resultat de l'operació se'n diu el seurecorregut.Per exemple, en el conjunt dels nombres reals, l'operació d'extraure l'arrel quadrada només produeix nombres no negatius; el seu codomini és el conjunt dels nombres reals però el seu recorregut és el conjunt dels reals no negatius.

Les operacions poden implicar objectes de tipus diferents. Per exemple, un vector es pot multiplicar per unescalarper a obtenir un altre vector. En canvi l'operacióproducte escalarde dos vectors dona un escalar. Les operacions poden tenir o poden no tenir certes propietats, per exemple poden serassociatives,commutatives,anticonmmutatives,idempotents,i així.

Dels valors que es combinen se'n diuoperands,arguments,oentrades,i del valor obtingut se'n diu elvalor,elresultat,o lasortida.Les operacions poden tenir dos arguments, més de dos, o menys. Una operació és semblant a unoperador,però el punt de vista és diferent. Per exemple, es parla sovint de l'operació de sumaro de l'operació addicióquan se centra l'atenció en els operands i en el resultat, però es diuoperador addició(raramentoperador de l'addició) quan se centra l'atenció en el procés o des d'un punt de vista més abstracte, la funció +: S×S → S.

Definició general

Unaoperacióω és unafuncióde la forma ω:X₁×… ×X_k→Y.Dels conjuntsX_jse'n diu elsdominisde l'operació, del conjuntYse'n diu elcodominide l'operació, i del nombre enter fix, no negatiuk(el nombre d'arguments) se'n diu eltipuso l'arietatde l'operació. Així unaoperació unariaté arietat 1, i unaoperació binariaté arietat 2. D'una operació que tingui arietat zero se'n diu una operaciónul·lària,i és simplement un element del codominiY.D'una operació que té arietatk,se'n diu una operaciók-ària. Per tant, una operaciók+1-ària és unarelaciófuncional en els seus primerskdominis.

El que s'ha dit abans defineix el que normalment es diu una operaciófinit-ària,referint-se al fet que el nombre d'arguments,k,és finit. Hi ha extensions òbvies on l'arietat es pren de forma que sigui unordinalo uncardinalinfinit, o fins i tot un conjunt arbitrari que indexi els arguments.

Sovint, la utilització de l'expressióoperacióimplica que el domini de la funció és una potència del codomini. Això no és de cap manera sempre així, com es pot veure als exemples de més amunt.

Classificació

Depenent de com siguin els conjunts implicats en l'operació pel que fa al conjunt considerat principal segons les nostres intencions podem classificar les operacions en dos tipus: internes i externes.

Llei de composició interna

És l'operació en la qual, tant en els seus elements inicials com en el seu resultat, només intervé un conjuntSúnic.

$S\times S\times \cdots \times S\to S$

dekarguments. Això rep també el nom depropietat de clausura.

Per aoperacions binàriesinternes, se sol utilitzar la convenció de juxtaposar els elements que operen entre si, és a dir, siaibpertanyen aS,llavors escrivim senzillamentabper al nou element deSobtingut a partir d'aib.

Aquesta classificació és relativa i depèn del conjunt en què ens interessem:

• En el conjunt dels nombresnaturals,$\mathbb {N}$,l'operació d'addicióés interna, ja que la suma de dos naturals sempre és un altre nombre natural ($+:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$).

• En el conjunt$\mathbb {N}$larestano és operació interna doncs el resultat no sempre és natural, mentre que si ens atenim al conjunt delsenters$\mathbb {Z}$sí que es tracta d'una operació interna.

Llei de composició externa

Una llei externa sobre un conjunt$A$amb coeficients en un conjunt$K$és una aplicació $K\times A\longrightarrow A$.

Exemples de lleis externes es troben en les estructures d'espai vectorialomòduls sobre un anell.

Vegeu també

• Àlgebra