Primitiva

El camp vectorial definit assignant a cada punt (x,y) un vector que té per pendentƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x. Es mostren tres de les infinites primitives deƒ(x) que es poden obtenir variant laconstant d'integracióc.

Enmatemàtiques,unaprimitivad'unafunciófd'una variablerealdefinida sobre unintervalIés una funcióFdefinida iderivablesobreIla derivada de la qual ésf,en altres paraules tal que:

$\forall x\in I,\quad F\,'(x)=f(x).$

Una condició suficient perquè una funciófadmeti primitives sobre un interval és que hi siguicontínua.

La primitiva és lineal, és a dir:

1. Sifés una funció que admet una primitivaFsobre un intervalI,llavors per a tot realk,una primitiva dekfsobre l'intervalIéskF.
2. SiFiGsón primitives respectives de dues funcionsfig,llavors una primitiva def+gésF+G.

La linealitat es pot expressar com segueix:

$\int {k\cdot f\left(x\right)}+l\cdot g\left(x\right)=k\cdot \int {f\left(x\right)+}l\cdot \int {g\left(x\right)}$

Si una funciófadmet una primitiva sobre un interval, n'admet unainfinitat,que difereixen entre elles d'una constant: siF₁iF₂ són dues primitives def,llavors existeix un realk₀tal queF₁=F₂ +k₀.

El conjunt de totes les primitives d'una funciófdonada s'anomena de vegadesintegral indefinidade la funcióf.Si la funciófestà definida en un interval connex llavors la seva integral indefinida es pot expressar com la suma d'una primitivaFmés una constant arbitràriaC:

$\int {f=F+\mathbb {R} }=\{F+C:C\in \mathbb {R} \}$

anàlogament,

$F\in \int f$

Segons elteorema fonamental del càlcul,si$F$és una primitiva de$f$,llavors

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x$.

Constant d'integració

Article principal:Constant d'integració

La derivada de qualsevol funció constant és zero. Un cop s'ha trobat una primitivaF,sumant-li o restant-li una constantCs'obté una altra primitiva, perquè (F+C) ' =F' +C' =F'. La constant és una manera d'expressar que cada funció té un nombre infinit de primitives diferents.

Per interpretar el significat de la constant d'integració es pot observar el fet que la funcióf(x) sigui la derivada d'un altra funcióF(x) vol dir que per a cada valor dex,f(x) li assigna el pendent deF(x). Si es dibuixa a cada punt (x,y) delpla cartesiàun petit segment amb pendentf(x), s'obté un camp vectorial com el que es representa a la figura de la dreta. Llavors el problema de trobar una funcióF(x) tal que la seva derivada sigui la funcióf(x) es converteix en el problema de trobar una funció la gràfica de la qual sigui, en tots els punts, tangent als vectors del camp. A la figura de la dreta s'observa com en variar la constant d'integració s'obtenen diverses funcions que compleixen aquesta condició i sóntranslacionsverticals les unes de les altres.

Càlcul de primitives

Taula de primitives

Principals primitives:

Funció F: primitiva de f	funció f: derivada de F
${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k$	$x^{n}\,$,per a totn≠ -1
$e^{x}+k\,$	$e^{x}\,$
$\ln x+k\,$	$1 \over x$
${\frac {-1}{(n-1)\cdot x^{n-1}}}+k$	${\frac {1}{x^{n}}}$,per a totn≠ 1
$-\cos x+k\,$	$\sin x\,$
$\sin x+k\,$	$\cos x\,$
${\frac {a^{x}}{\ln a}}$,a> 0 ia≠ 1	$a^{x}\,$
${\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}$	${\sqrt {x}}$
$ax+b\,$	$a\,$

Vegeu també

• Integració per canvi de variable
• Integració per parts
• Integració per sèries
• Integració per substitució trigonomètrica
• Integració de fraccions racionals
• Taula d'integrals