Quantil

El termequantilva ser usat per primera vegada perKendallel 1940, enestadística descriptiva,com una mesura de posició no central que permet conèixer altres punts característics de ladistribucióque no són els valors centrals. El quantil d'ordrepd'una distribució (amb $0\!<\!p\!<\!1$ ) és el valor de lavariable $x_{p}$ que marca un tall de manera que una proporciópde valors de lapoblacióés menor o igual que $x_{p}$ .Per exemple, el quantil d'ordre 0,36 deixaria un 36% de valors per sota i el quantil d'ordre 0,50 es correspon amb lamedianade la distribució.

Els quantils solen usar-se per grups que divideixen la distribució en parts iguals; enteses aquestes com aintervalsque comprenen la mateixa proporció de valors. Els més usats són:

Elsquartils,que divideixen la distribució en quatre parts (corresponen als quantils 0.25, 0.50 i 0.75);
Elsquintils,que divideixen la distribució en cinc parts (corresponen als quantils 0.20, 0,40, 0,60 i 0,80);
Elsdecils,que divideixen la distribució en deu parts;
Elspercentils,que divideixen la distribució en cent parts.

En el càlcul de quantils amb distribucions de variable contínua (per exemple, amb dades agrupades) pot aconseguir fàcilment que les parts en què es divideix la distribució siguin exactament iguals. No obstant això, en les distribucions de variable discreta (com el cas de dades aïllades) aquestes parts seran aproximadament iguals. No hi ha consens sobre la manera de realitzar aquesta aproximació, existint en la literatura científica nou mètodes diferents, que condueixen a resultats diferents. Per això, encalcularqualsevol quantil de dades no agrupades mitjançant decalculadora,programario manualment, és bàsic el saber i indicar el mètode utilitzat.

Lafuncióque a cadapli assigna el punt de tall $x_{p}$ ,és a dir, el valor del quantil d'ordre p, s'anomenafunció quantil.

Càlcul de quantils de dades agrupades en intervals

Calcularem el quantil d'ordre 0.30 de l'edatde la població d'un poblet resumida a la taula:

Edat de la població	habitants	freqüència acumulada
0-20	9	9
20-40	18	27
40-60	26	53
60-80	7	60
80-100	4	64

El primer pas serà trobar l'interval en què es troba el quantil buscat: D'un total de 64 dades, el quantil 0,30 ocuparà la posició p = 64 × 0,3 = 19.2. Observem a la columna de freqüències acumulades que aquest valor, per estar comprès entre 9 i 27, correspon a l'interval 20-40.

Dins d'aquest interval, seleccionarem el valor del quantil per simple interpolació lineal. Per a això, seguint les indicacions delgràfic,només caldrà fer unaregla de tres.

Quartils destacats

Quartils

Elsquartilssón els tres valors que divideixen al conjunt de dades ordenats en quatre parts percentualment iguals. Apareixen citats en la literatura científica per primera vegada el 1879 per D. McAlister.^[1]

La diferència entre el tercer quartil i el primer es coneix com aamplitud interquartílica.Es representa gràficament com l'amplada de les caixes en els anomenatsdiagrames de caixes.

Donada una sèrie devalors $X_{1},X_{2},X_{3}...X_{n}$ ordenats en forma creixent, es pot pensar que el seu càlcul podria efectuar-se:

Primer quartil (Q₁) com lamitjanade la primera meitat de valors;
Segon quartil (Q₂) com la mateixa mitjana de la sèrie;
Tercer quartil (Q₃) com la mitjana de la segona meitat de valors.

Però això condueix a diferents mètodes de càlcul dels quartils primers (resp. tercer) segons que la mateixa mitjana s'inclogui o s'exclogui en la sèrie de la primera (resp. segona) meitat de valors.

Càlcul amb dades no agrupades

No hi ha uniformitat del càlcul. En la bibliografia es troben fins a cinc mètodes que donen resultats diferents.^[2]Un dels mètodes és el següent: donats n dades ordenats,

El primer quartil:

$(N+3)/4$

Per al tercer quartil

$(3n+1)/4$

Percentils

Es representen amb la lletraP.Per al percentili-èsim,on la i pren valors de l'1 al 99. Eli% de la mostra són valors menors que ell i el100-i% restant són majors.

Apareixen citats en la literatura científica per primera vegada perFrancis Galtonen 1885^[3]

P₂₅=Q₁.
P₅₀=Q₂=mediana.
P₇₅=Q₃.

Càlcul amb dades no agrupades

Un mètode per calcular un percentil seria el següent: Es calcula $x={\frac {n*i}{100}}$ on n és el nombre d'elements de la mostra ei el percentil. El resultat de realitzar aquesta operació en resulta unnombre realamb part enteraEi part decimalD.Tenint en compte aquests 2 valors, s'aplica la següent funció:

P_{i}={\begin{cases}element(E+1),&{\mbox{per a }}D<>0\\{\frac {element(E)+element(E+1)}{2}},&{\mbox{per a }}D=0\end{cases}}

El resultat d'aquesta última operació és el valor del percentil comanda.

Exemple a Youtube:http://www.youtube.com/watch?v=Ww0tPH_-31w

Càlculs amb ordinador

Amb paquets de programari estadístic

Hi ha diversos mètodes, que condueixen a resultats diferents, per estimar el valor dels quantils.^[4]La bateria completa de nou mètodes està disponible en el llenguatge de programacióR;^[5]SASinclou cinc dels mètodes esmentats;STAT,quatre. A diferència d'aquests, programari de propòsit general comMicrosoft Excelinclou només un dels mètodes.

Amb programari matemàtic de propòsit general

Citarem en aquest cas l'ús de Scilab, Matlab i Excel.

Percentils

En Scilab, els percentils d'un conjunt de dades són calculats amb la instrucció "perctl". A aquesta instrucció cal introduir dosvectors.Un d'ells "x" ha de contenir les dades que volem processar i en l'altre "i", valors sencers compresos entre l'1 i el 100. La funció calcula quins són els valors de "x" que es corresponen amb els percentils indicats en "i". Per exemple:

i=[15,25,60,80]

calcularia els percentils 15, 25, 60 i 80 del conjunt de dades del vector "x", mostrant a la sortida unamatriude dues columnes. En la primera d'elles apareixen els valors dels percentils comandes i en la segona apareix la posició que ocupen en el vector "x" aquests valors:

prctile(x,i)
ans=
3.43.
4.3.
7.mitjanadelselements1i19.
10/5mitjanadelselements6i7

Quartils

Seguint amb Scilab, els quartils de la mostra són calculats amb la instrucció "quart". Aquesta instrucció és més senzilla que l'anterior. Només cal introduir un vector o matriu de valors i retornarà un vector amb el valor dels quartils de les dades introduïdes. Scilab també permet calcular l'amplitud interquartílicaque és la distància que hi ha entre un quartil i un altre. Es pot fer amb la instrucció "iqr". Usarem aquest vector "x" que en el cas anterior:

quart(x)
ans=3.757.5/8
iqr(x)
ans=4.75

Per MSExcel es pot usar

= Quartil (RANG, 1)

= Quartil (RANG, 2)

= Quartil (RANG, 3)

on RANG són les dades dels quals volem extreure el quartil i el valor 1, 2 i 3 indiquen el primer, segon i tercer quartil.

Referències

↑McAlister, D. (1879). The law of the geometric mean. PRSL, 29, 367-376.
↑Quartile - from MathWorldCompara diversos mètodes de càlcul de quartils
↑Galton, F. (1885). Some results of the Anthropometric Laboratory. J. Anthrop. Inst, 14, 275-287.
↑Hyndman, RJ; Fan, Y. «org/stable/2684934 Sample Quantiles in Statistical Packages».American Statistician.American Statistical Association, 50, 1996, p. 361-365.DOI:10.2307/2684934.
↑Frohne, I.; Hyndman, RJ.Sample Quantiles.R Project, 2009.ISBN 3-900051-07 - 0.

Vegeu també

AWikimedia Commonshi ha contingut multimèdia relatiu a:Quantil

Diagrama de caixaper a la representació gràfica dels quartils.
Mesures de tendència central

[1] McAlister, D. (1879). The law of the geometric mean. PRSL, 29, 367-376.

[2] Quartile - from MathWorldCompara diversos mètodes de càlcul de quartils

[3] Galton, F. (1885). Some results of the Anthropometric Laboratory. J. Anthrop. Inst, 14, 275-287.

[4] Hyndman, RJ; Fan, Y. «org/stable/2684934 Sample Quantiles in Statistical Packages».American Statistician.American Statistical Association, 50, 1996, p. 361-365.DOI:10.2307/2684934.

[5] Frohne, I.; Hyndman, RJ.Sample Quantiles.R Project, 2009.ISBN 3-900051-07 - 0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]