Successió (matemàtiques)

Gràfica d'una successió convergent.

Enmatemàtiques,unasuccessióoseqüènciaés una llistaordenadad'objectes.Més formalment, s'anomenasuccessióunaaplicaciódefinida en elconjuntdelsnombres naturals,o unsubconjuntseu, i que pren valors en un conjunt arbitrari. Si aquest altre conjunt és el delsnombres realses diu que és unasuccessió de nombres reals;si és un conjunt defuncions,es diusuccessió de funcions,etc.

Per exemple, una successió de nombres reals és una aplicació

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} \end{matrix}}$

A diferència de lanotacióhabitual per a representar els valors d'una aplicació, on la variable s'acostuma a escriure entreparèntesis,$a(n)$,la variable d'una successió s'acostuma a representar com a subíndex:$a_{n}$.Així doncs, els valors de la successióasón

${\begin{matrix}&a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}$

L'element$a_{n}$és eltermed'índexnde la successióa.També és habitual representar una successió$a$amb la notació

${\begin{matrix}&(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\end{matrix}}$.

Pel que fa al conjunts d'índexs, de vegades és còmode que el primer terme de la successió tingui índex 1. En aquest cas, la successió seria${\begin{matrix}a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...\end{matrix}}$i s'escriuria${\begin{matrix}(a_{n})_{n\geq 1}\end{matrix}}$.Quan queda clar, pel context, quin és el conjunt d'índexs, simplement s'escriu${\begin{matrix}(a_{n}).\end{matrix}}$

Es pot definir una successió tant explícitament com implícitament. Alguns exemples de successions definides explícitament serien

$a_{n}=n^{2},\ \ \ (a_{n})=(0,1,4,9,16...)$

$a_{n}=1/n,\ \ n\geq 1,\ \ \ (a_{n})=(1,1/2,1/3,1/4,1/5...)$

$a_{n}=(-1)^{n},\ \ \ (a_{n})=(1,-1,1,-1,1,-1\ldots )$

$a_{n}=\cos(n\pi /2),\ \ \ (a_{n})=(1,0,-1,0,1,0,-1...)$.

També moltes successions es defineixen de manera implícita usant unarecurrència,per exemple:

Progressió geomètricade raó$r$:$a_{n+1}=ra_{n},\ \ a_{0}$donat.

Successió de Fibonacci:$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$,$a_{0}=0,\ a_{1}=1$,$\ \ (a_{n})=(0,1,1,2,3,5,8,13\ldots )$.

La successió de laconjectura de Collatz:$a_{n+1}={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ parell}}\\3n+1&{\text{si }}n{\text{ senar}}\end{cases}},\ \ a_{0}>0\ {\text{ enter donat}}.$

La successió delsnombres primers:$a_{0}=2$,i$a_{n+1}$és el menor nombre enter més gran que$a_{n}$que no ésdivisibleper cap dels$a_{0},a_{1},\dots,a_{n}$.

S'anomenasubsuccessióosuccessió parciald'una successió donada$(a_{n})$a una altra que s'obté de la primera eliminant alguns dels seus termes. Per exemple, la successió$(-1)^{n}$és una subsuccessió de la successió$\cos(n\pi /2)$,ambdues considerades més amunt.

Les successions tenen una gran importància enanàlisi matemàticai entopologia,amb els conceptes delímit,de successió convergent i desuccessió de Cauchy,així com el desèrie convergent.

Bibliografia

• Ortega Aramburu,Joaquin M.Introducció a l'Anàlisi Matemàtica.Bellaterra (Barcelona): Servei de Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona, 1990.ISBN 84-7488-800-X, 84-7488-809-3.
• Perelló,Carles.Càlcul Infinitesimal.Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994.ISBN 84-7739-518-7.

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica
• Successió recurrent lineal
• Successió de Farey
• Successió d'Ulam