Espai mètric
Enmatemàtiques,unespai mètricés unconjuntdotat d'unafunciódedistància(o mètrica)[1]entre totes les parelles d'elements de.Un espai mètric és un cas particular d'espai topològic,i d'un espai topològic que té associada una distància es diu que és "metritzable".
L'exemple més conegut d'espai mètric és l'espai euclidià tridimensionalamb la noció habitual de distància. Altres exemples coneguts són l'esferaequipada amb ladistància angulari elpla hiperbòlic.Una mètrica pot correspondre a una noció de distància més metafòrica que no física: per exemple, el conjunt decadenesde 100 caràcters equipats amb ladistància de Hamming,que mesura el nombre de caràcterese que cal canviar per obtenir una cadena a partir d'una altra.
Com que són molt generals, els espais mètrics són una eina que s'utilitza en moltes branques de les matemàtiques. Molts tipus d'objectes matemàtics tenen una noció natural de distància i per tant admeten l'estructura d'un espai mètric, incloses lesvarietats riemannianes,elsespais vectorials normatsi elsgrafs.Enàlgebra abstracta,elsnombresp-àdicssorgeixen com elements de lacompleciód'una estructura mètrica en elsnombres racionals.També s'estudien els espais mètrics en si mateixos en els camps de lageometria mètrica[2]i de l'anàlisi en espais mètrics.[3]
Definició formal
[modifica]Siguiun conjunt,el conjunt delsnombres reals.Unadistànciaenés una aplicació:
1. | no negativitat o separabilitat | |
2. | identitat dels indiscernibles | |
3. | simetria | |
4. | subadditivitat o desigualtat triangular |
Unespai mètricés unparell ordenatambun conjunt iuna distància sobre.Als elements dese'ls anomenapunts.
Es pot prescindir de l'axioma 1, ja que es pot deduir dels altres 3:
Per la desigualtat triangular | |
Per la identitat dels indiscernibles | |
Per la simetria | |
Tenim la separabilitat |
Exemples d'espais mètrics
[modifica]Exemple 1. El conjunt dels nombres realsamb ladistància euclidiana.
Exemple 2. Com a conjunt,amb ladistància euclidiana.L'exemple 1 és el cas particular n = 1. Per demostrar la desigualtat triangular amb la distància euclidiana, es necessita laDesigualtat de Cauchy-Schwarz.
Exemple 3. Qualsevol conjuntamb la distància.Aquesta distància, anomenadadistància discreta,és vàlida per a qualsevol conjunt, demostrant que tot conjunt admet, com a mínim, una mètrica.
Exemple 4. Qualsevolmètrica,per tal d'evitar els valors,permet una reescalació a unamètricafinita, definint, per exemple,,els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vistatopològic.
Caracterització d'un espai mètric
[modifica]Convé definir alguns conceptes que ens permetin caracteritzar un espai mètric, o bé comparar espais mètrics entre si.
Boles obertes
[modifica]Siguiun espai mètric,un punt de,iun nombre real positiu. Es defineix labola obertade radicentrada en,,com el conjunt:
.
És a dir, la bola oberta de radicentrada enconté tots els puntstals que la seva distància al puntés menor que.
Propietats de les boles obertes
[modifica]- Sigui.Aleshores,.Dit d'altra manera, donat un punt qualsevolde la bola oberta,és possible trobar un radiprou petit tal que la bola obertaestà continguda en.
- Siguinitals que,i siguiqualsevol. Aleshores,.En altres paraules, donades dues boles amb intersecció no buida, és possible prendre un puntde la intersecció i trobar un radiprou petit perquè la bola obertatambé està continguda en la intersecció de les altres dues.
Demostracions de les propietats
[modifica]- Qualsevol bola oberta conté el seu centre.
- Siguii prenem.Si,es dedueix de la desigualtat triangular que.Així doncs, la distància entre qualsevoli el puntés menor que,i per tant.
- Per la propietat (2), existeixen.És suficient prendre.
Entorns
[modifica]Siguiun espai mètric iun punt de.Un subconjuntés unentorndesi existeix untal que.Menys formalment, un subconjuntés entorn d'un puntsi és possible trobar un radi prou petit perquè existeixi una bola centrada eni continguda en.
Oberts (i tancats)
[modifica]Siguiun espai mètric iun subconjunt.Diem queés unobertdesi, per a totexisteixtal que.Alternativament,és un obert si és entorn de tots els seus punts. Untancatés un conjunt tal que el seu complementari és obert.
Propietats dels oberts
[modifica]- són oberts
- Siguiuna família arbitrària d'oberts. Aleshores,és un obert.
- Siguiuna famïlia finita d'oberts. Aleshores,és un obert.
Demostració de les propietats
[modifica]- Donat queno té elements, és obert (tots els seus elements compleixen la definició, ja que no en té). Qualsevol bola oberta, per definició, està continguda en,i per tant,és un obert.
- si i només sital que.Aleshores, com queés un obert,tal que.és un obert ja que.
- si i només si,.Com que elssón obert, per a cadascun d'ells,tal que.Prenent,es té que,.Per tant,.
Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil per veure que amb una família infinita pot no complir-se la propietat 3 és prendre com a conjunt els nombres reals dotats amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts.Aleshores, la interseccióno és un obert.
Propietats dels tancats
[modifica]Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.
- són tancats.
- Siguiuna família finita de tancats. Aleshores,és un tancat.
- Siguiuna família arbitrària de tancats. Aleshores,és un tancat.
Oberts (o tancats) en espais topològics
[modifica]Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts deanomenattopologia,al qual se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt.Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts (o tancats), ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts (o tancats) de l'espai mètric respectiu.
Aplicacions contínues
[modifica]Siguiuna aplicació entre espais mètrics. Diem queéscontínuaensi,
.
És a dir, si per tota bola oberta encentrada en,existeix una bola oberta encentrada eni la segona està continguda en la primera.
Direm que una aplicació éscontínuasi ho és en tots els punts de.
Algunes proposicions i teoremes amb aplicacions contínues
[modifica]Proposició 1.Siguiuna aplicació entre espais mètrics. Aleshores,és contínua ensi i només si l'antiimatge d'un entorn qualsevoldeés un entorn de.
Demostració:
) Suposem queés contínua en.Com queés un entorn de,existeix untal que.Degut a la continuïtat deen,hi ha untal que:
.
Per tant,és un entorn de.
) Suposem ara que,essentun entorn qualsevol de,és un entorn de.Com queés un entorn de,és un entorn de.És a dir, hi ha untal quei per tantés contínua en.
Teorema 1.Siguiuna aplicació entre espais mètrics. Aleshores,és contínua ensi i només si l'antiimatge d'un obert qualsevoldeés un obert de.
La demostració és senzilla mitjançant la proposició 1, ja que un obert és entorn de tots els seus punts.
És important notar, donat aquest teorema, que la continuïtat de les aplicacions entre espais mètrics no depèn directament de la mètrica, sinó dels oberts que produeixen. Així, dues distàncies que produeixin els mateixos oberts, produiran també les mateixes aplicacions contínues. Això mostra que la continuïtat és un concepte topològic i no mètric.
Història
[modifica]L'any 1906,Maurice Fréchetva introduir els espais mètrics en la seva obraSur quelques points du calcul fonctionnel(Sobre alguns punts del càlcul de funcions)[6]en el context de l'anàlisi funcional:el seu principal interès era el d'estudiar funcions reals d'un espai mètric, generalitzant la teoria de funcions de diverses o fins i tot infinites variables, matèria en què van ser pioners matemàtics comCesare Arzelà.La idea va ser posteriorment desenvolupada i contextualitzada perFelix Hausdorffen el seumagnum opusGrundzüge der Mengenlehre(Principis de la teoria de conjunts), que també va introduir la idea delsespais topològics de Hausdorff.[7]
Els espais mètrics generals s'han convertit en una part fonamental en el currículum matemàtic.[8]Són exemples notables d'espais mètrics en la recerca matemàtica les varietats riemannianes i els espais vectorials normats, que són el domini de lageometria diferenciali de l'anàlisi funcional,respectivament.[9]Lageometria fractalés font d'alguns espais mètrics "exòtics". D'altres han aparegut com a límits en l'estudi d'objectes discrets osuaus,inclososlímits invariants d'escalaenfísica estadística,espais d'Alexandrov que apareixen com alímits de Grómov–Hausdorffde seqüències en varietat riemannianes, i fronteres de Grómov i cons asimptòtics en lateoria geomètrica de grups.Finalment, moltes de les noves aplicacions d'espais mètrics discrets i finits provenen de lesciències de la computació.
Referències
[modifica]- ↑Čech, 1969,p. 42.
- ↑Burago, Burago i Ivanov, 2001.
- ↑Heinonen, 2001.
- ↑Burago, Burago i Ivanov, 2001,p. 1.
- ↑Gromov, 2007,p. xv.
- ↑Fréchet,M. «Sur quelques points du calcul fonctionnel».Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,vol. 22, 1, December 1906, pàg. 1–72.DOI:10.1007/BF03018603.
- ↑Blumberg,Henry «Hausdorff's Grundzüge der Mengenlehre».Bulletin of the American Mathematical Society,vol. 6, 1927, pàg. 778–781.DOI:10.1090/S0002-9904-1920-03378-1.
- ↑Rudin, 1976,p. 30.
- ↑Per exemple,Burago, Burago & Ivanov 2001,p. xiii:
... durant gran part del darrer segle era una creença habitual que "geometria de varietats" bàsicament es reduïa a "anàlisi en varietats". Els mètodes geomètrics es basaven molt en eines diferencials, com es pot suposar a partir del terme "geometria diferencial".
Bibliografia
[modifica]- Burago,Dmitri;Burago,Yuri;Ivanov,Sergei.A course in metric geometry.Providence, RI: American Mathematical Society, 2001.ISBN 0-8218-2129-6.
- Čech,Eduard.Point Sets.Academic Press, 1969.ISBN 0121648508.
- Heinonen,Juha.Lectures on analysis on metric spaces.Nova York: Springer, 2001.ISBN 0-387-95104-0.
- Gromov,Mikhael.Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces.Boston: Birkhäuser, 2007.ISBN 978-0-8176-4582-3.
- Rudin,Walter.Principles of Mathematical Analysis.Third, 1976.ISBN 0-07-054235-X.OCLC1502474.