Leonhard Euler

Leonhard Euler

Biografia
Naixement	15 abril 1707 Basilea (Antiga Confederació Suïssa)
Mort	18 setembre 1783(76 anys) Sant Petersburg (Imperi Rus)
Causa de mort	hemorràgia cerebral
Sepultura	Cementiri luterà de Smolensk, Sant Petersburg(–1957) Lazarev Cemetery(en)(1957–)59° 55′ N, 30° 23′ E
Residència	Sant Petersburg(1766–) Sant Petersburg(1727–1741) Basilea
Religió	Protestantisme
Formació	Universitat de Basilea(1720–)
Director de tesi	Johann Bernoulli
Activitat
Camp de treball	Anàlisi matemàtica,teoria de nombres,construcció naval,càlcul de variacions,astronomia,mecànica,teoria d'equacions diferencials,balística,òptica,matemàtiques,teoria de la música,càlcul diferencial,teoria de grafs,físicailògica
Lloc de treball	Berlín(1741–1766) Sant Petersburg(1727–) Sant Petersburg Basilea Berlín
Ocupació	matemàtic,astrònom,científic,inventor,executiu,teòric musical,professor d'universitat,escriptor,físic,geògraf
Ocupador	Acadèmia de Ciències de Sant Petersburg Acadèmia Prussiana de les Ciències Academic University at the St. Petersburg Academy of Sciences(en)
Membre de	Acadèmia Americana de les Arts i les Ciències(1782–) Acadèmia de les Ciències de Torí(1760–) Acadèmia Francesa de les Ciències(1755–) Royal Society(Membre de la Royal Society)(1747–) Acadèmia Prussiana de les Ciències(1741–) Acadèmia de Ciències de Sant Petersburg(1730–) Reial Acadèmia Sueca de Ciències
Professors	Johann Bernoulli
Alumnes	Mikhail Golovin(en),Petr Inokhodtsev(en),Semen Kotelnikov(en),Anders Johan Lexell,Stepan Rumovsky(en),Nicolas Fuss,Johann EuleriJoseph-Louis Lagrange
Influències	Pierre de Fermat,Christiaan HuygensiPierre Louis Moreau de Maupertuis
Obra
Obres destacables teorema d'Euler../... 20+
Família
Cònjuge	Salomea Abigail Euler(1776–) Katharina Euler(1733–)
Fills	Johann Euler ()Katharina Euler Christoph Euler ()Katharina Euler Carl Euler ()Katharina Euler
Pares	Paul III EuleriMarguerite Brucker
Premis (1782)Membre de l'Acadèmia Americana de les Arts i les Ciències Membre de la Royal Society
Signatura

Leonhard Euler(Basilea,15 d'abrilde1707-Sant Petersburg,18 de setembrede1783) fou unmatemàticifísicsuísque va viure aRússiai alRegne de Prússiadurant la major part de la seva vida.Euler va fer importants descobriments en camps tan diversos com elcàlculo lateoria de grafs.També va introduir una gran part de la notació i terminologia matemàtica moderna, particularment en l'anàlisi matemàtica,com la noció defunció.És notable també la seva aportació enmecànica,òpticaiastronomia.

És considerat un dels matemàtics més brillants de la història (conjuntament amb altres comArquimedes,GaussoNewton) i el més important del seglexviii.També en fou un dels més prolífics; les seves obres completes omplirien una vuitantena de llibres. Una frase atribuïda aPierre-Simon Laplacedona idea de la gran influència que Euler tingué en matemàtiques:Llegiu Euler, llegiu Euler, ell és el mestre de tots nosaltres.Euler apareix en un bitlletsuísde 10francsi en diversossegellsdeRússia,AlemanyaiSuïssa.A més, l'asteroide2002 Eulerva ser batejat en honor seu i apareix en el calendari de sants de l'Església luterana.

Biografia

Joventut

Euler va néixer aBasilea(Suïssa), fill de Paul Euler, un pastor de l'Església reformista,i de Marguerite Brucker, filla també d'un pastor. Tenia dues germanes petites, Anna Maria i Maria Magdalena. Poc després del seu naixement, la seva família aniria a viure aRiehen,on Euler passaria gran part de la seva infantesa. La família d'Euler i de Bernoulli eren amigues i és notable la influència queJohann Bernoullihauria exercit en Euler durant els primers anys de la seva vida. La seva educació va començar aBasilea,on Euler va anar a viure amb la seva àvia. A l'edat de 13 anys, es matriculà a laUniversitat de Basilea,i amb només 16 anys va rebre unmàsterenfilosofiaper la seva tesi en què comparava les filosofies deDescartesiNewton.Durant aquest període, Euler rebia classes particulars deJohann Bernoulli,que ràpidament descobrí el gran talent que tenia per a les matemàtiques.

En aquest moment, Euler estava estudiantteologia,grecihebreu,per ordre del seu pare, que volia que Euler el succeís com a pastor. Fou Bernoulli qui el convencé que el seu fill estava destinat a ser un gran matemàtic. L'any1726,Euler completà la seva tesi doctoral sobre la propagació delso,i el1727participà en un concurs organitzat per l'Acadèmia de Ciències de Parísque proposava trobar la millor manera de col·locar els mastelers en un vaixell. Euler hi quedà segon, només superat perPierre Bouguer,que s'havia de convertir en elpare de l'arquitectura naval.Tanmateix, Euler guanyà el concurs 12 cops al llarg de la seva carrera.

Sant Petersburg

En aquesta època, els dos fills deJohann Bernoulli,DanieliNicolas,treballaven a l'Acadèmia Russa de les CiènciesaSant Petersburg.El juliol del1726,Nicolas morí d'apendicitisdesprés de passar un any aRússiai, quan Daniel assumí la plaça del seu germà a la secció deMatemàtiquesiFísica,recomanà Euler per a la plaça que ell mateix havia deixat vacant al departament de fisiologia. Euler declinà l'oferta mentre sol·licitava un lloc de professor a laUniversitat de Basilea,però quan aquest li fou denegat, fou a trobar-se aSant Petersburgamb el seu bon amic.

Allí, ambdós col·laboraren estretament en el departament de matemàtiques, alhora que Euler compaginava la seva recerca amb una feina de metge en lamarina russa.

Segell de l'any 1957 de l'antigaUnió Sovièticacommemorant el 250 aniversari del naixement d'Euler. El text diu: "250 anys des del naixement del gran matemàtic i acadèmic Leonhard Euler"

Euler va arribar a la capital russa el17 de maigdel1727.Va ser ascendit des del seu lloc al departament mèdic de l'acadèmia a un lloc al departament de matemàtiques, en què va treballar amb Daniel Bernoulli, sovint en estreta col·laboració. Euler va aprendre l'idiomarusi es va establir finalment a Sant Petersburg. Fins i tot, va arribar a exercir com a metge de l'armada russa.

L'Acadèmia de Sant Petersburg, creada perPere I el Gran,tenia l'objectiu de millorar el nivell educatiu a Rússia i reduir la diferència científica existent entre aquell país i l'Europa occidental. Com a resultat, es van implementar una sắc rie de mesures per atreure erudits estrangers com Euler. L'acadèmia tenia amplis recursos financers i una biblioteca molt extensa, extreta directament de les biblioteques privades de Pere I i de la noblesa. L'Acadèmia admetia un nombre molt limitat d'estudiants per facilitar la feina de l'ensenyament, al mateix temps que destacava la tasca d'investigació i s'oferia tant la facultat com el temps o la llibertat per resoldre qüestions científiques.

Malgrat això, la principal benefactora de l'Acadèmia, l'emperadriuCaterina I de Rússia,que havia continuat amb les polítiques progressistes del seu marit, va morir el mateix dia de l'arribada d'Euler a Rússia. La seva mort va incrementar el poder dels nobles, i va deixar el lloc al nou emperadorPere II de Rússia,que en aquella època era tan sols un nen de dotze anys. Els nobles sospitaven dels científics estrangers de l'Acadèmia, per la qual cosa van retallar la quantitat de diners que s'hi dedicaven i això va provocar una altra sắc rie de dificultats per a Euler i els seus col·legues. Les condicions van millorar lleugerament després de la mort de Pere II, i Euler va ser a poc a poc ascendit en la jerarquia de l'Acadèmia, i es va convertir en professor de física el 1731. Dos anys més tard, Daniel Bernoulli, fart de les dificultats que li plantejaven la censura i l'hostilitat a què s'enfrontava a Sant Petersburg, va deixar la ciutat i va tornar a Basilea. Euler va ser-ne el successor com a director del departament de matemàtiques.

El7 de generdel1734,Euler es va casar amb Katharina Gsell, filla d'un pintor de l'Acadèmia. La jove parella es va comprar una casa al costat delriu Nevai va concebre fins a tretze fills, encara que només cinc en van sobreviure fins a l'edat adulta.

Berlín

Preocupat pels esdeveniments polítics que succeïen a Rússia, Euler va marxar de Sant Petersburg el19 de junydel1741per acceptar un càrrec a l'Acadèmia de Berlín, càrrec que li havia estat ofert perFrederic II el Gran,rei de Prússia.Va viure vint-i-cinc anys a Berlín, on va escriure més de 380 articles. També va publicar-hi dos de les seves obres principals: laIntroductio in analysin infinitorum,un text sobre lesfuncions matemàtiques,publicat el1748,i laInstitutiones calculi differentialis,publicada el1755i que tractava sobre elcàlcul diferencial.

A més a més, se li va oferir un lloc com a tutor de la princesa d'Anhalt-Dessau, la neboda de Frederic. Euler va escriure més de 200 cartes dirigides a la princesa que, més tard, serien recopilades en un volum titulatCartes d'Euler sobre diferents temes de filosofia natural dirigides a una princesa alemanya.Aquest treball recopilava l'exposició d'Euler sobre diversos temes de física i matemàtiques, així com una visió de la seva personalitat i de les seves creences religioses. El llibre es va convertir en el més llegit de totes les seves obres, i va ser publicat per tot elcontinent europeui alsEstats Units.La popularitat que van arribar a tenir aquestesCartesserveix de testimoni sobre l'habilitat d'Euler per a comunicar qüestions científiques a una audiència menys qualificada.

Malgrat això i malgrat la immensa contribució d'Euler al prestigi de l'Acadèmia, va ser finalment obligat a deixar Berlín. El motiu d'això va ser, en part, un conflicte de personalitat entre el matemàtic i el mateix Frederic, qui va arribar a veure Euler com una persona molt poc sofisticada, i especialment en comparació amb el cercle de filòsofs que el rei alemany havia aconseguit congregar a l'Acadèmia.Voltaire,en particular, era un d'aquests filòsofs, i tenia una posició destacada en el cercle social del rei. Euler, com a home senzill de caràcter religiós i treballador, era molt convencional en les seves creences i en els seus gustos, i representava en certa manera el contrari que Voltaire. Euler tenia coneixements limitats deretòrica,i solia debatre qüestions sobre les quals tenia pocs coneixements, la qual cosa el feia objectiu freqüent dels atacs del filòsof.Per exemple, Euler va protagonitzar diverses discussions metafísiques ambVoltaire,de les quals solia retirar-se enrabiat per la seva incapacitat en laretòricai lametafísica.Frederic també va mostrar el seu descontentament amb les habilitats pràctiques d'enginyeria d'Euler:

«	Volia tenir una bomba d'aigua al meu jardí: Euler va calcular la força necessària de les rodes per a elevar l'aigua a una reserva, des d'on després cauria a través de canalitzacions per a finalment acabar aSanssouci.El meu molí va ser construït de forma geomètrica i no podia elevar una certa quantitat d'aigua des de més de cinc pisos fins a la reserva. Vanitat de les vanitats! Vanitat de la geometria!	»
—Frederic II el Gran

Deteriorament de la visió

Retrat d'Euler de l'any1753dibuixat perEmanuel Handmann.El retrat suggereix problemes amb el seu ull dret, així com un possibleestrabisme.L'ull esquerre sembla sa, si bé més endavant Euler va tenir problemes de cataractes

La vista d'Euler va anar empitjorant al llarg de la seva vida. L'any1735,Euler va patir unes febres quasi fatals i tres anys després d'aquest succés, es va quedar cec de l'ull dret. Tot i això, Euler preferí donar la culpa d'aquest fet a la feina decartografiaque realitzava per a l'Acadèmia de Sant Petersburg.

La vista d'aquest ull va empitjorar al llarg de la seva estada a Alemanya, fins al punt que Frederic feia referència a ell com elCíclop.Euler, més tard, va sofrircataractesen el seu ull sa, l'esquerre, cosa que el va deixar pràcticament cec poques setmanes després del diagnòstic. Tot i això, sembla que els seus problemes de visió no van afectar la seva productivitat intel·lectual, ja que ho va compensar amb la seva gran capacitat de càlcul mental i la sevamemòria fotogràfica.Per exemple, Euler era capaç de repetir l'EneidadeVirgilides del començament fins al final i sense dubtar en cap moment, i a cada pàgina de l'edició era capaç d'indicar quina línia era la primera i quina era l'última.També se sabia de memòria les fórmules de trigonometria i les sis primeres potències dels 100 primers nombres primers.

Va passar els últims anys de la seva vida cec, a partir de 1772, però va continuar treballant. Molts treballs els va dictar al seu fill gran i al secretari que li va recomanarDaniel Bernoulli:Nicolaus Fuss.

Retorn a Rússia

Tomba d'Euler, ubicada almonestir d'Alexandre Nevski

La situació a Rússia havia millorat molt després de la pujada deCaterina la Gran,per aquest motiu Euler va acceptar el 1766 una invitació per a tornar a l'Acadèmia de Sant Petersburg, per passar allà la resta de la seva vida. Malgrat això, la seva segona època a Rússia va estar marcada per la tragèdia: un incendi a Sant Petersburg el 1771 li va destruir casa seva i gairebé el mata, i el 1773 va perdre la seva dona que, en aquell moment, tenia 40 anys. Euler es va tornar a casar tres anys més tard.

Euler va morir el18 de setembredel1783a la ciutat de Sant Petersburg després d'unictus,i va ser enterrat al costat de la seva dona al cementiri Luterà a l'illa deVasilievsky.Avui en dia el cementiri on va ser enterrat no existeix, ja que va ser destruït pels soviètics. Aquests van traslladar prèviament les seves restes almonestir ortodox d'Alexandre Nevski.

El matemàtic i filòsof francèsNicolas de Condorcetva escriure per a l'Acadèmia francesa un elogi per al funeral d'Euler.

«

…il cessa de calculer et de vivre—… va deixar de calcular i de viure.

»

Per la seva part,Nicolaus Fuss,deixeble d'Euler i secretari de l'Acadèmia Imperial de Sant Petersburg, va escriure un biografia seva així com una llista de les seves obres.

Contribució a les matemàtiques i a altres àrees científiques

Vegeu també:Llista de temes anomenats en honor de Leonhard Euler

Euler, conjuntament ambDaniel Bernoulli,establí la llei que l'esforç de torsiód'una biga elàstica i prima és proporcional a l'elasticitatdel material i almoment d'inèrciad'una secció transversal sobre un eix a través delcentre de gravetati perpendicular al pla parell.

També deduí lesequacions d'Euler,un conjunt de lleis de moviment en ladinàmica de fluids,directament de les lleis de moviment deNewton.Aquestes equacions són formalment idèntiques a lesequacions de Navier-Stokesambviscositatzero, i són interessants principalment per a l'estudi de lesones de xoc.

Feu importants contribucions també a la teoria de lesequacions diferencials.En particular, és conegut per la creació d'una sắc rie d'aproximacions d'Euler,les quals són utilitzades enmecànica computacional.La més famosa d'aquestes aproximacions es coneix amb el nom demètode d'Euler.

En el camp de lateoria de nombres,inventà lafunció phi d'Euler.La funció"phi"φ(n) d'unnombre naturalno nulnes defineix com el nombre d'enterspositius menors o iguals quenicoprimersambn.Per exemple: φ(8) = 4, ja que els quatre nombres 1, 3, 5 i 7 són comprimers de 8.

En l'anàlisi matemàtica, Euler sintetitzà el càlcul diferencial deLeibnizamb el mètode deNewton.

El1735,esdevingué popular en resoldre elproblema de Basilea:

$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$,

en què$\zeta (s)$és lafunció zeta de Riemann.

També mostrà la utilitat, consistència i simplicitat de definir l'exponenciald'unnombre imaginarimitjançant lafórmulasegüent:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

Aquesta és lafórmula d'Euler,la qual situa en un rol fonamental lafunció exponencial.En es sắc ncia, totes les funcions elementals són variacions de la funció exponencial o bé sónpolinomis.Laidentitat d'Eulern'és una conseqüència evident:

$e^{i\pi }+1=0\,$

El1735,definí laconstant d'Euler-Mascheroni,la qual s'utilitza en equacions diferencials:

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}...+{\frac {1}{n}}-\log(n)\right)$

(no se sap si ésirracional)

És codescobridor de lafórmula d'Euler-Maclaurin,que és molt utilitzada en el càlcul d'integrals complexes, sumes i sắc ries.

El1739,publicàTentamen novae theoriae musicaei fou un intent de combinarmúsicaimatemàtiques.En la seva biografia, comenta que l'obra era massa avançada matemàticament per als músics i massa musical per als matemàtics.

En economia, mostrà que si cadafactor productiués pagat a unpreuigual al seuproducte marginal,llavors (sota la llei de rendiments constants a escala) s'arriba a un equilibri i el mercat es buida.

Engeometriaitopologia algebraica,hi ha una relació anomenadacaracterística d'Eulerque relaciona en nombre de vores, vèrtexs i cares d'un poliedre connectat simplement. Donat un poliedre, la suma dels nombres de vèrtexs i de cares és sempre el nombre de vores més dos. ex:F-E+V= 2. Aquestteorematambé s'aplica a qualsevol gràfic planar. Per a gràfics no planars, n'existeix una generalització: si el gràfic pot incloure's en unmúltipleM,llavorsF-E+V= χ(M), en què χ és la característica d'Euler del múltiple, una constant invariable sota deformacions contínues. La característica d'Euler d'un múltiple simplement connectat com ara una esfera o un pla és 2. Una generalització de lafórmula d'Eulerper a qualsevol gràfic planars és:F-E+V-C= 1, en quèCés el nombre de components del gràfic.

El1736,Euler solucionà el problema conegut comels set ponts de Königsberg,publicantSolutio problematis ad geometriam situs pertinentis,que fou la primera aplicació de lateoria de grafsa latopologia.Tot i que la teoria de grafs, com la coneixem avui en dia, no va aparèixer fins al seglexxquanDénes Kőnigva escriure el primer llibre que en parlava l'any 1936, ell va impulsar l'estudi dels grafs, però no els va inventar. També donà un resultat alproblema del cavall.Podem trobar aquests resultats en lateoria de grafs d'Euler.

Illustració deSolutio problematis... a. 1743 propositi,(Acta eruditorum, 1744)

Euler va treballar pràcticament en totes les àrees de les matemàtiques:geometria,càlcul,trigonometria,àlgebra,teoria de nombres,a part de física contínua, teoria lunar i altres àrees de la física. Ha sigut un dels matemàtics més prolífics de la història. La quantitat de les seves publicacions va ser contínua (una mitjana de 800 pàgines d'articles a l'any en la seva època de major publicació, entre1727i1783), i una bona part de la seva obra completa està sense publicar. La tasca de recopilació i publicació completa de les seves obres, anomenadesOpera Omnia,va començar el1911i fins avui en dia se n'ha arribat a publicar 76 volums. El projecte inicial planejava la feina sobre 887 títols en 72 volums. Se'l considera l'ésser humà amb major nombre de treballs i articles en qualsevol camp del saber, només equiparable aGauss.Si s'imprimissin tots els seus treballs, molts dels quals tenen una importància fonamental, ocuparien entre 60 i 80 volums.A més a més, i segons el matemàticHanspeter Kraft,president de laComissió Eulerde la Universitat de Basilea, no s'ha estudiat més d'un 10% dels seus escrits.Per tot això, el nom d'Euler està associat a un gran nombre de qüestions matemàtiques.

Notació matemàtica

Euler va introduir i va popularitzar diverses convencions referents a la notació en els escrits matemàtics en els molt nombrosos i molt utilitzats llibres de text. Possiblement, el més notable va ser la introducció del concepte defunció matemàtica,i fou el primer a escriuref(x) per a fer referència a la funciófaplicada sobre l'argumentx.Aquesta nova forma de notació oferia més comoditat davant dels rudimentaris mètodes de càlcul infinitesimal existents fins a la data, iniciats perNewtoniLeibniz,però desenvolupats basant-se en les matemàtiques del darrer.

També va introduir la notació moderna de lesfuncions trigonomètriques,la lletraecom base dellogaritme natural o neperià(elnombreeés conegut també com elnombre d'Euler), la lletra gregaΣcom a símbol dels sumatoris i la lletra$i$per a fer referència a launitat imaginària.L'ús de la lletra gregaπper a fer referència alquocient entre la longitud de la circumferència i la longitud del seu diàmetretambé va ser popularitzat per Euler, encara que ell no va ser el primer a utilitzar aquest símbol.

Anàlisi

El desenvolupament delcàlcul infinitesimalva ser una de les qüestions principals de la investigació matemàtica del seglexviii,i la família Bernoulli havia estat la responsable de gran part del progrés realitzat fins llavors. Gràcies a la seva influència, l'estudi del càlcul es va convertir en un dels principals objectes del treball d'Euler. Encara que algunes de les seves demostracions matemàtiques no són acceptables sota els estàndards moderns de rigor matemàtic,és cert que les seves idees van suposar grans avenços en aquest camp.

$e$és l'únicnombre realpel valorapel qual es compleix que el valor de la derivada de la funcióf(x) =a^x(corba blava) en el puntx= 0 és exactament 1. En comparació es mostren les funcions 2^x(línia puntejada) i 4^x(línia discontinua), que no són tangents a la línia de pendent 1 (en vermell).

El nombre e

Euler va definir la constant matemàtica, coneguda com anombree,com aquellnombre realtal que el valor de la sevaderivada(el pendent de la seva recta tangent) en la funcióf(x) =e^xen el puntx=& 0 és exactament 1. La funcióe^xs'anomena tambéfunció exponenciali la sevafunció inversaés ellogaritme natural,també anomenatlogaritmeneperiàologaritme en basee.

El nombreepot ser representat com unnombre realde diverses maneres: com unaSắc rie infinita,unproducte infinit,unafracció contínuao com ellímit d'una successió.La principal d'aquestes representacions, particularment en els cursos bàsics decàlcul,és com el límit:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

i també com la sắc rie:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

A més a més, Euler és molt conegut per la seva anàlisi i la seva freqüent utilització de laSắc rie de potències,és a dir, l'expressió de funcions com una suma infinita de termes com la següent:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).$

Una de les famoses troballes d'Euler va ser el descobriment de l'expansió en sắc rie de potències de la funcióarc tangent.El seu agosarat, segons els estàndards moderns, tècnicament incorrecte ús de les sắc ries de potències li va permetre resoldre el famósproblema de Basileael1735,pel qual quedava demostrat que:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Interpretació geomètrica de lafórmula d'Euler

Euler va introduir l'ús de lafunció exponenciali delslogaritmesen les demostracions analítiques. Va descobrir formes per a expressar diverses funcions logarítmiques utilitzant sắc ries de potències, i va definir amb èxit logaritmes per a nombres negatius icomplexos,ampliant enormement l'àmbit de l'aplicació matemàtica dels logaritmes.També va definir la funció exponencial per anombres complexos,i va descobrir la seva relació amb lesfuncions trigonomètriques.Per a qualsevolnombre realφ,lafórmula d'Eulerestableix que la funció exponencial complexa pot establir-se mitjançant la fórmula següent:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi.\,$

I és un cas especial de la fórmula el que es coneix com laidentitat d'Euler:

$e^{i\pi }+1=0\,$

Aquesta fórmula va ser qualificada perRichard Feynmancom a «la fórmula més important en matemàtiques», perquè relaciona les principals operacions algèbriques amb les importants constants 0, 1,$e$,$i$i π.El 1988, els lectors de la revista especialitzadaMathematical Intelligencervan votar la fórmula com «la més bella fórmula matemàtica de la història».En total, Euler va ser el responsable del descobriment de tres de les cinc primeres fórmules del resultat de l'enquesta.

A més a més, Euler va elaborar la teoria de lesfuncions transcendents(aquelles que no es basen en operacions algèbriques) mitjançant la introducció de lafunció gamma,i va introduir un nou mètode per a resoldre lesequacions de quart grau.També va descobrir una forma per a calcular integrals amblímits complexos,cosa que donaria peu a partir d'aquest descobriment, a la modernaanàlisi complexa,i va inventar elcàlcul de variacions,incloent-hi dins del seu estudi el que més tard s'anomena lesequacions d'Euler-Lagrange.

Euler també va ser pioner en l'ús de mètodes analítics per a resoldre problemes teòrics de caràcter numèric. Per això, Euler va unir dues branques separades de les matemàtiques per a crear un nou camp d'estudi, lateoria numericoanalítica.Per aconseguir això, Euler va crear la teoria de lesSắc ries hipergeomètriques,lesSắc ries q,lesfuncions hiperbòliquesi la teoria analítica defraccions contínues.Per exemple, va demostrar que la quantitat denombres primersés infinita, utilitzant la divergència de laSắc rie harmònica,i va utilitzar mètodes analítics per a aconseguir una major informació sobre com els nombres primers es distribueixen dins de la successió de nombres naturals. La feina d'Euler en aquesta àrea portaria ulteriorment al desenvolupament delteorema dels nombres primers.

Teoria de nombres

L'interès d'Euler en lateoria de nombresprové de la influència deChristian Goldbach,amic seu mentre estava a l'Acadèmia de Sant Petersburg. Molts dels primers treballs d'Euler en teoria de nombres es basen en els treballs dePierre de Fermat.Euler va desenvolupar algunes de les idees d'aquest matemàtic francès, però també va descartar algunes de les seves conjectures.

Euler va unir la naturalesa de la distribució dels nombres primers amb les seves idees de l'anàlisi matemàtica. Va demostrar ladivergència de la suma dels inversos dels nombres primersi, en fer-ho, va descobrir la connexió entre lafunció zeta de Riemanni els nombres primers. Això es coneix com elproducte d'Eulerper a la funció zeta de Riemann.

Euler també va demostrar lesidentitats de Newton,elpetit teorema de Fermat,elteorema de Fermat sobre la suma de dos quadratsi va fer importants contribucions alteorema dels quatre quadratsdeJoseph Louis Lagrange.També va definir lafunció φ d'Eulerque, per a tot nombre sencer positiu, quantifica el nombre d'enters positius menors o iguals a n i coprimers amb n. Més tard, utilitzant les propietats d'aquesta funció, va generalitzar el petit teorema de Fermat, també anomenatteorema d'Euler.

Va contribuir de manera significativa a la comprensió delsnombres perfectes,tema que va fascinar els matemàtics des dels temps d'Euclides,i va avançar en la investigació del que més tard es concretaria en elteorema dels nombres primers.Els dos conceptes es consideren teoremes fonamentals de la teoria de nombres, i les seves idees van posar les bases del que posteriorment fariaCarl Friedrich Gauss.

L'any 1772, Euler va demostrar que 2³¹- 1 = 2.147.483.647 és unnombre primer de Mersenne.Aquest va ser el nombre primer més gran conegut fins a l'any 1867.

Física i astronomia

Euler va ajudar a desenvolupar l'equació de lacorba elàstica,que es va convertir en el pilar de l'enginyeria.A part d'aplicar amb èxit les seves eines analítiques als problemes demecànica clàssica,Euler també les va aplicar sobre els problemes dels moviments dels astres celestes. La seva feina enastronomiava ser reconeguda mitjançant diversos Premis de l'Acadèmia de França al llarg de la seva carrera, i les seves aportacions en aquest camp inclouen qüestions com la determinació amb gran exactitud de les òrbites delscometesi d'altres cossos celestes, incrementant el coneixement de la natura d'aquests, o el càlcul de laparal·laxisolar. Els seus càlculs també van contribuir al desenvolupament de longituds més exactes per a la navegació.També va publicar treballs sobre el moviment de laLluna.

A més a més, Euler va dur a terme importants contribucions en l'àrea de l'òptica.No estava d'acord amb les teories de Newton sobre la llum, desenvolupades en la seva obraOpticks,i que eren la principal teoria en aquell moment. Els seus treballs sobre òptica desenvolupats en la dècada de 1740 van ajudar que el nou corrent que proposava una teoria de la llum en forma d'ona, proposada perChristiaan Huygens,es convertís en la teoria hegemònica. La nova teoria mantindria aquest estatus fins al desenvolupament de lateoria quàntica de la llum.

En el camp de lamecànica,Euler, en el seu tractat del1739,va introduir explícitament els conceptes departículai demassapuntual i la notació vectorial per a representar lavelocitati l'acceleració,cosa que posaria les bases de tot l'estudi de la mecànica fins aLagrange.En el camp de lamecànica del sòlid rígid,va definir els anomenatsangles d'Euleroeulerians,que formen unareferència eulerianaper a descriure la posició, i va publicar el teorema principal del moviment, segons el qual sempre existeix un eix de rotació instantani, i la solució del moviment lliure (va aconseguir aïllar els angles en funció del temps).

Enhidrodinàmica,va estudiar el flux d'un fluid ideal incompressible, detallant les equacions d'Euler de la hidrodinàmica.

Avançant-se més de cent anys aMaxwell,va preveure el fenomen de lapressióderadiació,fonamental en la teoria unificada de l'electromagnetisme.En els centenars de treballs d'Euler, es troben referències a problemes i qüestions molt avançats per al seu temps, que no estaven a l'abast de laciènciade la sevaèpoca.

Lògica

En el camp de la lògica, s'atribueix a Euler l'ús de corbes tancades per a il·lustrar el raonamentsil·logístic(1768). Aquest tipus de representacions reben el nom dediagrames d'Euler.

Arquitectura i enginyeria

En aquest camp, Euler va desenvolupar la llei que porta el seu nom sobre elvinclamentde suports verticals i va generar una nova branca de l'enginyeria amb els seus treballs sobre la càrrega crítica de les columnes.

Creences religioses i filosòfiques

Euler i el seu amic Daniel Bernoulli s'oposaven almonismedeLeibnizi al corrent filosòfic representat perChristian Wolff.Euler insistia que el coneixement es basa en part en l'existència de lleis quantitatives precises, cosa que el monisme i les teories filosòfiques de Wolff no eren capaces de donar. Les seves tendències religioses també podien haver contribuït que li desagradessin aquest tipus de doctrines, fins al punt que va arribar a catalogar les idees de Wolff com a «paganes i atees».

Gran part del coneixement que tenim de les creences religioses d'Euler es dedueix de la seva obraCartes a una princesa alemanya,així com d'un treball anterior anomenatRettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister(en català,Defensa de la revelació divina davant les objeccions dels lliurepensadors). Aquests treballs mostren Euler com uncristiàconvençut que defensava la interpretació literal de laBíblia(per exemple, la seva obraRettungera principalment una discussió en defensa de la inspiració divina de les escriptures).

Portada de l'obra d'Euler tituladaMethodus inveniendi línies corbes

Obra

Euler té una extensíssima bibliografia; en aquesta secció, es pot trobar alguna referència sobre algunes de les seves obres més conegudes o importants.

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita(1736)
• Tentamen novae theoriae musicae(1739)
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis(1741)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti(1744).
• Introductio in Analysis Infinitrum(1748)
• Institutiones Calculi Differentialis(1765)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum(1765)
• Institutiones Calculi Integralis(1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra(1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne(Cartas a una Princesa Alemana)(1768-1772).

El 1911, l'Acadèmia Suïssa de les Ciències va començar la publicació d'una col·lecció definitiva dels treballs d'Euler, tituladaOpera Omnia.Existeix un pla per a l'ampliació de l'obra amb la publicació de la correspondència (l'any 2008, se'n van publicar ja tres volums) i els manuscrits d'Euler, però encara no s'ha especificat cap data per a la seva edició.

Vegeu també

• Recta d'Euler

Bibliografia

• Lexikon der Naturwissenschaftler,2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
• Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed.,Landmark Writings in Western Mathematics.Elsevier: 191-98.
• Dunham, William (1999)Euler: The Master of Us All,Washington: Mathematical Association of America.ISBN 0-88385-328-0.
• Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed.,Landmark Writings in Western Mathematics.Elsevier: 168-80.
• Gladyshev, Georgi, P. (2007) «Leonhard Euler's methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolutionArxivat2008-05-31 aWayback Machine.»,International Journal of Applied Mathematics & Statistics(IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler's: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
• W. Gautschi «Leonhard Euler: his life, the man, and his works».SIAM Review,50, 1, 2008, pàg. 3–33.DOI:10.1137/070702710.
• Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956.Die großen Deutschen,volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
• Krus, D.J. (2001) «Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statisticsArxivat2006-02-10 aWayback Machine.»,Quality and Quantity: International Journal of Methodology,35: 445-46.
• Nahin, Paul (2006)Dr. Euler's Fabulous Formula,New Jersey: Princeton,ISBN 978-0-691-11822-2
• Reich, Karin, 2005, «Introduction' to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed.,Landmark Writings in Western Mathematics.Elsevier: 181-90.
• Sandifer, Edward C. (2007),The Early Mathematics of Leonhard Euler,Washington: Mathematical Association of America.ISBN 0-88385-559-3
• Simmons, J. (1996)The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time,Sydney: The Book Company.
• Singh, Simon. (1997).Fermat's last theorem,Fourth Estate: New York,ISBN 1-85702-669-1
• Thiele, Rüdiger. (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», inMathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures,G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag.ISBN 0-387-25284-3.
• «A Tribute to Leohnard Euler 1707-1783».Mathematics Magazine,56, 5, November 1983.