n-pla

Enmatemàtiques,sinés unnombre natural,aleshores unan-pla(de vegadesn-tupla) és una seqüència o llista ordenada denobjectes, i aquestselementses diu que són les seves components.Si anomenema₁la primera d'aquestes components,a₂ la segona i així successivament finsa_nlan-èsima; es designa lan-pla corresponent amb la notació$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$.De vegades s'usen altres delimitadors diferents alsparèntesis,com elsclaudàtors[ ] o elsclaudàtors angulars⟨ ⟩.Lesclaus{ } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard delsconjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtatentre duesn-ples$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$i$(b_{1},b_{2},...,b_{n})$quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})=(b_{1},b_{2},...,b_{n}):\iff a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},...,a_{n}=b_{n}$

Lesn-ples són els elements delproducte cartesià$E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times E_{n}$dels$n$conjunts$E_{1},E_{2},...,E_{n}$.També es poden veure com la generalització a$n$components delsparells ordenats.Els noms tradicionals per an-ples denpetita sónsingletóper la 1-pla,parellper la 2-pla,ternaper la 3-pla, quaterna oquaternióper la 4-pla.

Propietats

Les principals propietats que distingeixen lesn-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com elsconjuntssón:

• Pot contenir un mateix element més d'una vegada,$\{a,b,b\}=\{a,b\}$però$(a,b,b)\neq (a,b)$.
• L'ordre en el que apareix cada element té importància,$\{a,b\}=\{b,a\}$però$(a,b)\neq (b,a)$.
• Té midafinita$n\in \mathbb {N}$.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'unconjunt totalment ordenat,la segona d'unmulticonjunti la tercera d'unasuccessió.En relació amb aquestes últimes, unan-pla també es pot veure com unaaplicaciódes d'unsubconjuntfinitdeℕ,és a dir, lan-pla$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$es pot definir amb lafunció

$\{1,2,...,n\}\rightarrow A$

$i\mapsto a_{i}$

Teoria de conjunts

Tot i que els conceptes den-pla i deconjuntsón diferents (vegeu-ho a l'apartatpropietats), enteoria de conjuntses pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant lan-pla$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$amb el conjunt

$\{a_{1},\{a_{1},\{a_{2},\{a_{2},\{a_{3},\{a_{3},\{\cdots,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_{n}\}\}\cdots \}\}\}\}\}\}\}$.

O bé reduint-ho a parells:

$(a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},(\cdots,(a_{n-1},a_{n})\cdots )))$.

i usant la definició formal conjuntista delparell ordenat:

$(a_{1},a_{2}):=\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}$.

Vectors

Lesn-ples a elements d'uncosK(és a dir, els elements del producte cartesiàn-èsim$K^{n}=K\times \cdots \times K$) són l'exemple més usual devectors.En concret, amb lesoperacions

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})+(b_{1},b_{2},...,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n})$on$+$denota lasumadel cos.

$\lambda (a_{1},a_{2},...,a_{n}):=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots,\lambda a_{n})$on$\lambda$és un element del cos i$\lambda a_{i}$és lamultiplicaciódel cos.

tindrem ben definit unespai vectorialdedimensió$n$sobre el cos en qüestió.

Vegeu també

• Producte cartesià