根据《中华人民共和国刑法》第八十五条规定：被假释的犯罪分子，在假释考验期限内，由公安机关予以监督，如果没有本法第八十六条规定的情形，假释考验期满，就认为原判刑罚已经执行完毕，并公开予以宣告。 由此条可知，假释犯在假释考验期内的监督部门是公安机关。
根据《中华人民共和国刑法》第八十四条的规定：被宣告假释的犯罪分子，应当遵守下列规定：
（1）遵守法律、行政法规、服从监督；
（2）按照监督机关的规定报告自己的活动情况；
（3）遵守监督机关关于会客的规定；
（4）离开所居住的市、县或者迁居，应当报经监督机关批准。
所以，假释犯受公安机关监督，而公安机关监督则要依照刑法第八十四条规定的内容，在假释考验期内对假释犯考察。
