Einsteinova konvence

Einsteinova notaceneboEinsteinova sumační konvenceje zjednodušený zápis součtu spočívající v tom, že za určitých okolností je možné vynechat znaksumya psát jenom sčítané členy. Používá se především vtenzorovém počtua aplikacíchlineární algebryvefyzice,zejména tam, kde ve vzorcích vystupujísouřadnice.

Podle této konvence, jestliže se indexová proměnná v jednom členu objevuje v horní i dolní pozici, znamená to součet přes všechny možné hodnoty indexu. V typických aplikacích se jedná o hodnoty 1, 2, 3 (pro výpočty vEuklidovském prostoru), nebo 0, 1, 2, 3 nebo 1, 2, 3, 4 (pro výpočty vMinkowského prostoru), ale může se jednat o jakýkoliv rozsah, dokonce v některých aplikacích se může jednat o nekonečnou množinu.

Vobecné relativitěseřecká abecedaalatinkapoužívají k rozlišení, zda se sčítá přes 1, 2, 3 nebo 0, 1, 2, 3 (obvykle se latinkai,j,…používá pro 1, 2, 3 a řecká abecedaμ,ν,…pro 0, 1, 2, 3). V praxi tomu ale může být i obráceně.

Někdy (jako vobecné relativitě) se požaduje, aby se index jednou vyskytoval jako horní index a jednou jako dolní, v jiných aplikacích se používají jen dolní indexy, např. vtenzorovém počtunebo vduálním vektorovém prostoru.

Úvod

V mechanice a inženýrství se často vektor v 3D prostoru popisuje pomocíortogonálníchjednotkových vektorůi,jak.

$\mathbf {u} =u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k}$

Jestliže bázové vektoryi,j,akvyjádříme (přejmenujeme) jakoe₁,e₂,ae₃,lze vektor vyjádřit pomocí sumace:

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}\mathbf {e} _{i}$

V Einsteinově notaci, pokud se nějaký index v rovnici opakuje dvakrát, implikuje to sumaci, a sumační symbol je možné vynechat.

Tato notace umožňuje zestručnit algebraickou reprezentaci vektorových atenzorovýchrovnic. Například

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}=u_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot v_{j}\mathbf {e} _{j}$

nebo ekvivalentně:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})=u_{i}v_{j}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})$

kde

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$

a$\ \delta _{ij}$jeKroneckerovo delta,které je rovno 1 kdyži=j,a 0 jindy. Logicky vyplývá, že jednojv rovnici může být převedeno nai,nebo jednoimůže být převedeno naj.Pak

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{j}\delta _{ij}=u_{i}v_{i}=u_{j}v_{j}$

Provektorový součin,

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{3}u_{j}\mathbf {e} _{j}\times \sum _{k=1}^{3}v_{k}\mathbf {e} _{k}=u_{j}\mathbf {e} _{j}\times v_{k}\mathbf {e} _{k}=u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}$

kde$\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}$a$\ \varepsilon _{ijk}$Levi-Civitův symboldefinovaný takto:

$\varepsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{pokud }}(i,j,k){\mbox{ je }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{pokud }}(i,j,k){\mbox{ je }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3)\\0&{\mbox{jinak: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i\end{matrix}}\right.$

což nahrazuje

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {e} _{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {e} _{2}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {e} _{3}$

z

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}$.

Pokud označíme$\mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v}$,pak můžeme psát$\mathbf {w} =\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}$a též pro jednotlivé složky$\ w_{i}=\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}$.V posledním zápisu se indexiobjevuje pouze jednou naoboustranách rovnice, a proto se v tomto případě nejedná o součet, ale spíše o systém rovnic:

${\begin{matrix}w_{1}=\varepsilon _{1jk}u_{j}v_{k}\\w_{2}=\varepsilon _{2jk}u_{j}v_{k}\\w_{3}=\varepsilon _{3jk}u_{j}v_{k}\end{matrix}}$

Alternativně lze vektorový součin vyjádřit jako

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {u} \cdot \varepsilon \cdot \mathbf {v}$

kde$\varepsilon$je tenzorový zápisLevi-Civitova symbolu.Tota notace ale nepochází odEinsteina.

Abstraktní definice

Uvažujmevektorový prostorVs konečnoudimenzína určitoubáziV.Bázové vektory můžeme psát jakoe₁,e₂,…,e_n.Pak jestliževje vektor v prostoruV,má vzhledem k bázi souřadnicev₁,…,v_n.

Základní pravidlo:

v=v_ie_i.

V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přesis hodnotami 1 ažn,protože indexise neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se indexiobjevil dvakrát.)

Indexise také označuje jakonepravý indexprotože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát:

v=v_je_j.

Index, přes který se nesčítá, jevolný indexa může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.

Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektore_iponechá dolní index, ale souřadnice budouvⁱs horním indexem. Pak základní pravidlo je:

v=vⁱe_i.

Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných zVpoužitímtenzorového součinuaduality.Například$V\otimes V$,tenzorový součinVse sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru$\mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$.Libovolný tenzorTv$V\otimes V$lze psát jako:

$\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}$.

V*,duální prostor kV,má bázie¹,e²,…,eⁿkterá splňuje pravidlo

$\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{i}^{j}$.

Zde δ jeKroneckerovo delta,tak$\delta _{i}^{j}$je 1 jestližei=ja 0 v ostatních případech.

Příklady

Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3:

$a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}$

$a^{\mu \nu }b_{\mu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}.$

Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor$a^{\mu \nu }b_{\alpha }$přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů:

$s^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }.$

Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorůaab.Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexyaab:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{\alpha }b^{\alpha }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3},$