Pružnost

Pružnost(téželasticitačituhost) je částmechaniky,která studuje vztahy mezideformacemitělesavnějšími silami,které na toto těleso působí. V úlohách pružnosti se potom řeší, zdadeformacetělesa či konstrukce nepřesáhla dovolenou hodnotu.

Jedním z prvních, kdo se zabýval hledáním vztahů mezi silami působícími na těleso a deformacemi tělesa způsobenými těmito silami, byl britskýfyzikRobert Hooke.Hooke v roce1676zformulovalzákon,jenž říká, že při pružnédeformacije normálovénapětípřímo úměrné relativnímu prodloužení.Tento poznatek je v podstatě jedním ze základních kamenůmatematické teorie pružnostia v nezměněné podobě se využívá dodnes. Zákon, který Hooke definoval, nese jeho jméno.

Rozdělení, základní pojmy a předpoklady

Rozdělení pružnosti

Pružnost lze velmi obecně rozdělit na několik vzájemně souvisejících oddílů.

• Matematická teorie pružnostivyužívá nejméně zjednodušujících předpokladů a snaží se nalézt analytická (tedy obecná a přesná) řešení úloh a problémů.
• Experimentální pružnostse používá pro ověření složitých výpočtů a pro stanovení materiálových charakteristik jako jemodul pružnosti v tahu,modul pružnosti ve smykuapod.
• Mechanika kompozitních materiálůzkoumá chováníkompozitních materiálů,přičemž využívá jak poznatky pružnosti, tak poznatkypevnosti.

Základní předpoklady

Poznatky z pružnosti lze využít jen při splnění několika předpokladů. Praxe ukazuje, že teoretické vztahy lze využít, i když se vlastnosti reálného tělesa či konstrukce prvním dvěma předpokladům pouze blíží.

• Těleso uvažujeme jakohomogenní,tj. těleso má stejnémechanické vlastnostiv každém bodě.
• Těleso uvažujeme jakoizotropní,tj. těleso má stejnémechanické vlastnostive všech směrech.
• Deformacetělesa jemaláapružná,což jinými slovy znamená, že se tato deformace pohybuje v oblasti platnostiHookeova zákonaa těleso se po odlehčení vrátí do svého původního tvaru.

Základní pojmy

Pružné těleso

Související informace naleznete také v článkuTěleso.

Pružné těleso(téželastické těleso) je takovétěleso,které se působenímvnější sílydeformuje,ale po odstranění této síly se vrací do původníhotvarua velikosti. Tělesa, která se po odstranění vnější síly nevrátí do původního tvaru, se označují jakonepružná(téžplastická tělesa).

Vnější síla

Související informace naleznete také v článkuSíla.

Pojmem vnější síla lze v pružnosti označit veškeré síly působící na těleso (nebokonstrukci), které mají původ mimo těleso. Tato definice však není úplně přesná, neboť mezi vnější síly počítáme itíhovou síluzpůsobenou vlastníhmotnostítělesa.

Podle oblasti působení rozlišujeme vnější sílypovrchovéaobjemové.

• Povrchové vnější síly působící na povrch tělesa mohou býtosamělé,ty potom působí na povrch v jedinémbodě,nebospojité,kteréspojitěpůsobí na určitou část povrchu.
• Objemovou vnější sílou rozumíme vlastní tíhu tělesa či konstrukce (která spojitě vychází z vlastního objemu tělesa).

Z hlediska času můžeme těleso či konstrukci zatížitstaticky,kdy jsou vnější sílykonstantnív čase, nebo se velmi pomalu mění,cyklicky,kdy se vnější síly mění v časeperiodicky,čirázově,kdy (obvykle velmi velká síla) působí na těleso po velmi malý časový interval (obvykle se jedná o mikrosekundy až milisekundy).

Vnitřní síla

Podrobnější informace naleznete v článkuSíla.

Vlivem působení vnějších sil se tělesodeformujea rovněž v něm vzniknou tzv. vnitřní síly, které odporují vnějším silám. Velikost a směr vnitřních sil se určujemetodou řezu.Vnitřní síla se v každém řezu rozkládá do dvou složek a to donormálové,která je kolmá na rovinu řezu, a dotečné,která leží v rovině řezu.

Napětí a deformace

Napětíadeformacevyjadřují intenzitu vnitřních sil.

Napětí

Podrobnější informace naleznete v článkuTlak.

Napětíse vztahuje k danému řezu v tělese, jeho jednotkou jepascal,případně newton na metr čtvereční. Protože rozlišujeme dvě složky vnitřní síly, normálovou a tečnou, budeme rozlišovat i dvě složky napětí,normálovénapětí asmykové(tečné) napětí.

Normálové napětí tedy vypočteme jako podíl normálově složky vnitřní síly a obsahu plochy řezu

$\sigma ={\frac {F_{n}}{S}}={\frac {N}{A}}$.

Přejdeme-li k diferenciálně malé plošce řezu, platí vztah

$\sigma ={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} A}}$.

Smykovou složku napětí lze obdobně vyjádřit jako podíl tečné složky vnitřní síly a obsahu plochy příslušného řezu

$\tau ={\frac {F_{t}}{S}}={\frac {T}{A}}$.

Pro diferencíálně malou plošku řezu opět platí

$\tau ={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} A}}$.

V technické praxi se obvykle normálová složka síly značí písmenem$N$,tečná$T$a plocha řezu$A$(z anglického "area" ).

Deformace

Oproti napětí sedeformace(těžprodloužení,přetvoření nebo zkrácení) vztahuje k danému rozměru tělesa. Jde ale o bezrozměrnou veličinu, neboť udává poměr mezi prodloužením (zkrácením) a původním rozměrem. Protože se pohybujeme v oblasti malých deformací, je možno vztah pro výpočetpoměrného prodloužení$\varepsilon$zjednodušit, jak je naznačeno dále, bez (velké) újmy na přesnosti

$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{\Delta l+l_{0}}}\approx {\frac {\Delta l}{l_{0}}}$.

Ilustrace k výpočtu skosu$\gamma$

Výše uvedený vzorec udává prodloužení tělesa způsobené normálovou složkou vnitřní síly. Je zřejmé, že i tečná složka vnitřní síly způsobuje nějakou deformaci a tou je natočení roviny řezu, tzv.skos$\gamma$vyjadřující poměr mezi výškou řezu$h$a vzdáleností mezi původní polohou krajního bodu řezu a novou polohou krajního bodu řezu$a$.Vztah pro výpočet skosu jde opět díky základním předpokladům pružnosti zjednodušit

$\tan \gamma \approx \gamma ={\frac {a}{h}}$,

neboť za předpokladu, že úhel$\alpha$je menší než 5° (což je splněno, neboť předpokládáme malé deformace) platí přibližná rovnost

$\tan \alpha \approx \alpha$(pro úhel vobloukové míře).

Vztah mezi napětím a deformací

Vztah mezi napětím a deformací vyjadřujeHookeův zákon,omezíme-li se tedy na oblast platnosti tohoto zákona, pro tah (resp. tlak) platí

$\sigma =E\cdot \varepsilon$,

kde$E$jemodul pružnosti v tahu(téžYoungův modul pružnosti).Podobně pro skos můžeme definovat vztah, někdy nazývanýHookeův zákon pro smyk,

$\tau =G\cdot \gamma$,

kde$G$jemodul pružnosti ve smyku.

Srovnáme-li všechny uvedené vztahy, můžeme v případě, kdy je součást konstantního průřezu$A$namáhána jenom normálovou silou$N$,určit prodloužení na základě znalostí počátečních podmínek ze vztahu

$\Delta l=\varepsilon \cdot l_{0}={\frac {\sigma }{E}}\cdot l_{0}={\frac {N\cdot l_{0}}{E\cdot A}}={\frac {F\cdot l_{0}}{E\cdot A}}$

kde$\Delta l$je absolutní změna délky součásti a$l_{0}$její původní délka.

Smluvní a pracovní diagram

Na tuto kapitolu jepřesměrovánohesloTrhací diagram.

Přesnější vztah mezi napětím a deformací lze získatexperimentálně,provedenímtahové zkoušky,kdy nejsme omezeni oblastí platnosti Hookeova zákona.

Po provedení tahové zkoušky je možno vytvořittahový diagram,zobrazující závislost mezisilou$F$,kterou působíme na vzorek (obvykle tyčnormovanédélkyanormovanéhoprůřezu) a délkou$\Delta l$,o níž se sledovaný vzorek prodlouží. Matematicky lze tento vztah zapsat$F=F(\Delta l)$.

Často se zavádípracovní diagram,vyjadřující závislost napětí na deformaci, matematicky$\sigma =\sigma (\varepsilon )$.Myšlenka přechodu od tahového diagramu k pracovnímu je velmi jednoduchá: uvědomíme-li si, že pro napětí platí vztah$\sigma =F/A_{0}$a deformaci je možno určit jako$\varepsilon =\Delta l/l_{0}$,přičemž$A_{0}$i$l_{0}$jsou pro měřený vzorek konstanty (jak už bylo zmíněno výše, jde o obsah průřezu a délku nenamáhaného vzorku), můžeme pomocí známých vzorců spočítat napětí$\sigma$a deformaci$\varepsilon$.

Smluvní pracovní diagram houževnatého materiálu s výraznou mezí kluzu

Je třeba si uvědomit důležitou skutečnost: je-li vzorek natahován, jeho průřez$A$se zmenšuje. V naší úvaze však napětí$\sigma$počítáme díky znalosti obsahu průřezu nenamáhaného vzorku$A_{0}$.Tento však obecně není konstantní a proto se skutečné napětí může i značně lišit od napětí námi spočítaného. Z tohoto důvodu se zavádí pojmysmluvnípracovní diagramaskutečnýpracovní diagram.Oba diagramy znázorňují závislost napětí na deformaci, vesmluvním pracovním diagramuvšak napětí vztahujeme ke klidovému průřezu$A_{0}$,zatímco veskutečném pracovním diagramunapětí vztahujeme ke skutečnému průřezu. Je tedy zjevné, že vesmluvním diagramuje sice napětí zdánlivé, ale jeho vytvoření je snazší, zatímco veskutečném diagramuje skutečné napětí, ale vzhledem k proměnnému průřezu je jeho vytvoření složitější.

Na základě podobnosti pracovních (či tahových) diagramů lze jednotlivé materiály rozdělit do několika skupin, o nichž bude řeč dále.

Zbývá dodat, že křivky v tahovém i smluvním pracovním diagramu mají pro daný materiál stejný průběh.

Houževnatý materiál

Podrobnější informace naleznete v článkuHouževnatost.

Houževnaté materiály se vyznačují stejným chováním vtahuitlakua obvykle i vysokoupevností.Mezi houževnaté materiály patří například houževnatáocel.^[zdroj⁠?!]

Pracovní diagram houževnatého materiálu se smluvní mezí kluzu

Dále je pomocí pracovního diagramu popsáno chování houževnatého materiálu, respektive závislost napětí na jeho deformaci.

Hodnota$\sigma _{u}$v diagramu se nazývámez úměrnosti.V intervalu od nulového napětí domeze úměrnostiplatí Hookeův zákon a veškeré deformace jsou elastické (bývají značeny$\varepsilon _{e}$), což znamená, že po odstranění zatížení deformace zmizí a délka namáhané součásti se vrátí na původní délku$l_{0}$.

Hodnota$\sigma _{E}$označujemez pružnosti,zvanou téžmez elasticity.Mez pružnosti se obvykle příliš neliší od meze úměrnosti. Při zvýšení napětí nad mez pružnosti dochází po odstranění zatížení k tomu, že deformace nezmizí úplně, ale zůstává jistá trvalá (tzv. plastická) deformace (značí se$\varepsilon _{p}$).

Napětím$\sigma _{k}$(v novější literatuře$R_{e}$) je určenamez kluzunebomez průtažnosti.Součást se v tomto bodě prodlužuje, aniž by se zvětšovalo zatížení. Rovněž dochází ke změně fyzikálních vlastností materiálu, kdy krystalové mřížkou kloužou po sobě (proto mez kluzu) a v důsledku jeho přetvoření také k mírnému zpevnění.

U některých materiálů jsou hodnoty$\sigma _{u}$,$\sigma _{e}$a$\sigma _{n}$prakticky totožné. O takových materiálech říkáme, že nemají výraznou mez skluzu a zavádíme tzv.smluvní mez skluzu$R_{p02}$,což je hodnota napětí způsobující plastickou deformaci 0,2%.

Při dalším zvyšování zatížení dosáhnememeze pevnosti$\sigma _{p}$(v novější literatuře$R_{n}$). Za mezí pevnosti dochází ke zužování průřezu (tzv. tvorbě krčku) a v bodě$T$dojde k přetržení vzorku.

Namáhání těles

Podrobnější informace naleznete v článkuNamáhání.

Působení vnějších sil na těleso může být různé. Hovoříme pak onamáhání tělesavtahu,vtlaku,vohybu,vesmyku(střihu), vkroucení(v krutu/torzi), resp. že jsou takto namáhánysoumezné řezy:

• Tah/tlak je z tohoto pohledu totéž, na jejich normálu.
• Při smyku leží osa rotace v jejich rovině, podél osy se každý posouvá (smýká) v opačném směru.
• Při ohybu leží osa rotace v rovině soumezných řezů, ty se na jedné straně vzdalují (podtlak), na druhé straně osy naopak přitlačují.
• Při krutu je osa rotace na kolmá na rovinu soumezných řezů, ty se podle ní otáčejí, proti sobě, opačně.

Soumezné řezy tedy popisují čtyři varianty dvou proměnných: Směr pohybu je tečný/kolmý, posuvný/otáčivý. Pokud soumezné řezy na sebe vzájemně působí opačně, jsou spolu v kolizi.

• 
  tah
• 
  tlak
• 
  ohyb
• 
  smyk(střih)
• 
  krut(torze)

Dopružování

Hysterezní křivka při opakovaném namáhání tlakem a tahem.

Podrobnější informace naleznete v článkuDopružování.

U některých materiálů nezmizí po odstranění zatížení deformace ihned, ale pouze její část. Zbytek deformace pak mizí po určitou dobu. Tento jev se nazývádopružování(elastickáhystereze).

Dopružování a odchylky od Hookova zákona se objevují při opakovaném namáhání materiálutahematlakem.Křivky napínání a stlačování pak vytváří tzv.hysterezní křivku.

Odkazy

Literatura

• HÁJEK, E., REIF, P., VALENTA, F.:Pružnost a pevnost I.1. vyd. Praha: SNTL/ALFA, 1988. 432 s.
• HÁJEK, E. a kol.:Pružnost a pevnost I..1. vyd. Praha: ČVUT, 1981. 444 s.
• HÁJEK, E. a kol.:Pružnost a pevnost II..1. vyd. Praha: ČVUT, 1981. 252 s.: 344 obr.
• ZEMAN, V., LAŠ, V.:Technická mechanika.3. vyd. Plzeň: Vydavatelství ZČU v Plzni, 2001. 191 s.
• LAŠ, V., HLAVÁČ, V., VACEK, V.:Technická mechanika v příkladech.5. vyd. Plzeň: Vydavatelství ZČU v Plzni, 2009. 160 s.

Související články

• modul pružnosti
• mez pružnosti,mez kluzu
• mechanika kontinua
• pevnost (fyzika)
• namáhánítěles
• tuhost pružiny

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématupružnostnaWikimedia Commons
• Slovníkové heslopružnostve Wikislovníku
• Podpůrné materiály pro studium předmětu Pružnost a pevnost IArchivováno4. 3. 2010 naWayback Machine.(obsahuje problémy rozdělené do osmi kapitol s řešenými a interaktivními příklady)

Autoritní data	PSH:3065 BNF:cb11931958h(data) GND:4014159-7 LCCN:sh85041516 NDL:00561255 NLI:987007533396605171