Prosté zobrazení

Prosté zobrazení(injektivní zobrazení,zkráceněinjekce) je typzobrazenímezimnožinami,které různým vzorům přiřazuje různé obrazy. Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů a jeden vzor více obrazů. K prostému zobrazení existujeinverzní zobrazení.Na rozdíl odsurjekce(zobrazení na) mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor. V anglické literatuře je prosté zobrazení často označovánoone to one(jedna k jedné).

Definice

Zobrazení $f\colon X\rightarrow Y$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platíimplikace:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\Rightarrow (f(x_{1})\neq f(x_{2}))

,

někdy se uvádí ekvivalentní definice s implikací v kontrapozici:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2})

.

Značení

Pro prosté zobrazení se někdy používá upravený symbol šipky mezi množinami: $f:X\rightarrowtail Y$ ^[zdroj?]nebo $f:X\hookrightarrow Y$ ^[1]namísto zápisu dále nespecifikovaného zobrazení: $f:X\rightarrow Y$ .

Příklady

Lineární zobrazeníje prosté, právě kdyždeterminantodpovídající transformační matice je nenulový.
Reálná funkce $f(x)=2x+1$ je prostá, protože pokud $f(x)=f(y)$ ,platí i $2x+1=2y+1$ ,tedy $x=y$ .
Reálná funkce $g(x)=x^{2}$ není prostá, neboť např. $g(-1)=g(1)$ .Pokud ale funkci $g$ omezíme nainterval $\langle 0,\infty )$ ,je $g$ prostá.
Reálné funkce $e^{x}$ a $\ln x$ jsou prosté.
Periodické funkceobecně nejsou prosté (prosté jsou, pokud je omezíme na interval délky jedné periody nebo půlperiody).
Cyklometrické funkcejsou definovány jako inverzní ke goniometrickým na intervalu jedné periody, tudíž prosté jsou.
Každá ryzemonotónní funkce(tj. rostoucí nebo klesající) je prostá.
Sudá funkcenemůže být prostá.
V teorii pravděpodobnostidistribuční funkceje prostá, alehustota pravděpodobnosti náhodné veličinyprostá není.