Prvočinitel

V oboruabstraktní algebryjeprvočiniteltakový prvek$p$komutativního okruhu$R$,který není aninulouanijednotkoua který pro všechna$a,b\in R$splňuje podmínku, že pokud$p$dělísoučin$ab$,pak$p$dělí$a$nebo$p$dělí$b$.

Jedná se o zobecněníprvočísel.V případěcelých číseljsou prvočiniteli právěprvočíslaa čísla k nimasociovaná,tedy prvočísla vynásobená$-1$,tedy čísla$2,-2,3,-3,5,-5,7,-7,11,-11,\dots$.

Vlastnosti

• Je-li prvek$c$prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek$c\cdot j$pro libovolnoujednotku$j$
• V libovolnémoboru integrityplatí, že prvočinitel je vždyireducibilním prvkem,ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). VGaussových oborech,kde platí analogieZákladní věty aritmetiky,také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem.
• Prvek$c$,který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovanýhlavní ideál$\left(c\right)$nenulovýmprvoideálem

Příklady

• například čísla$-2$a$5$(a mnohá jiná) v oboru celých čísel
• například prvek$2+i$(a mnohé jiné) v oboruGaussových celých čísel
• například mnohočlen$x^{2}+1$(a mnohé jiné) vpolynomiálním okruhuvšech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel
• v oboru integrity$\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$,jehož prvky jsou čísla tvaru$a+bi{\sqrt {5}}$pro$a,b\in \mathbb {Z}$,je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů$(1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})=6$,tedy se nejedná o prvočinitele.
• protože všechny prvkytělesjsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele

Reference

V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuPrimelementna německé Wikipedii.