Vektor

Vmatematicejevektordefinován abstraktně jako prvekvektorového prostoru.Vektory se dají spolu sčítat a dále násobit prvky komutativního algebraického tělesa, tzv. skaláry, např. reálnými čísly.

V každém vektorovém prostoru lze díkyaxiomu výběrunajít bázi, která určujesouřadnicedaného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud je vektorový prostor konečněrozměrný, souřadnice vektoru tvoříuspořádanén-ticečísel,označovaných jakosložky(téžkomponenty)vektoru.Speciálně, pokud se za vektorový prostor volíkartézský součinmnožinreálnýchčikomplexních čísel,tj. pokud je za vektorový prostor bráno$\mathbb {R} ^{n}$či$\mathbb {C} ^{m}$pro nějakápřirozená čísla$n$a$m$,tak se jeho prvky nazývajíaritmetické vektory.

Vektorpředstavuje vevektorovém počtuafyziceveličinu, která má kroměvelikostiisměra orientaci.

Příkladem vektoru jesíla— má velikost a směr, a více sil se skládá dohromady podlezákona o skládání sil–rovnoběžníkovéhopravidla. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí složek (souřadnic), které ovšem závisí na volbě souřadnicových os.

Definice

Neformálně jevektorveličina charakterizovanávelikostí(v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) asměrem.Často jereprezentovanágraficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod “nebo „Přitahován ke středu Země silou 70newtonů“.

Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá kovariance vůči změně (prostorových) souřadnic ( "stejná" změna jeho souřadnic, nové se počítají podle stejného pravidla jako souřadnice polohy). Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem$x_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}$,pak složky libovolného vektoru$\mathbf {v}$se podobně transformují podle vztahu

$v_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$,

kde$v_{i}$jsou složky vektoru$\mathbf {v}$v původní soustavě souřadnic a$v_{i}^{\prime }$jsou složky vektoru$\mathbf {v}$v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako$\mathbf {v} ^{\prime }=\mathbf {A} \cdot \mathbf {v}$,kde$\mathbf {A}$je transformačnímaticese složkami$a_{ij}$.Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), neboLorentzovým transformacím(vspeciální relativitě).

Pokud není vektor vázán k žádnému pevnémuboduprostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme ovolném vektoru.Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme ovázaném vektoru.

Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří ovektorovém poli.

V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakéhovektorového prostoru.Tyto prostory mohou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že ifunkceje vektor, anebostav fyzikálního systémuje vektor (v kvantové mechanice).

Pravý a axiální vektor

Jakopravý vektoroznačujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původníotočenánebozrcadlená,vyjde nám „stejný “vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí

$\mathbf {V} (-x_{i})=\mathbf {V} (x_{i}),$

kde$(-x_{i})$označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnouorientacijako$(x_{i})$.

Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jakoaxiální vektor(nepravý vektornebopseudovektor). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí

$\mathbf {V} (-x_{i})=-\mathbf {V} (x_{i}).$

Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhévnější mocninyprostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek(n-1)-ní vnější mocniny$\wedge ^{n-1}\mathbf {V}$n-rozměrného vektorového prostoruV.Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace naVpak lze takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkemV) pomocíHodgeovy duality.Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace.

Příkladem pravého vektoru jepolohový vektor$\mathbf {r}$nebo vektorrychlosti$\mathbf {v}$,axiálním vektorem je např. vektorúhlové rychlosti$\mathbf {\Omega }$.Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocívektorového součinu(je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).

Reprezentace vektoru

Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jakoa;to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patří${\vec {a}}$neboa,zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít iã.

Vektory se obvykle v grafech nebo jinýchdiagramechoznačují jako orientované úsečky:

Zde bodAse nazývápočáteční,bodBkoncový bod.Délka šipky představuje velikost vektoru, šipka určuje jeho (orientovaný) směr.

Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svýchsložek,např.$a_{i}$pro vektor$\mathbf {a}$.

V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místo$\mathbf {a}$se použije$a_{i}$nebo pouze$a$.

Kvantová fyzikapoužívá pro zápis vektoru tzv.Diracovu symboliku.

Vdiferenciální geometriise vektor v danésouřadné soustavěčasto vyjadřuje pomocí operátorůparciálních derivací,tedy např. jako

$\mathbf {A} =a_{x}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x}}+a_{y}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}y}}+a_{z}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}z}}\;.$

S výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace – pomocířetízkového pravidla.

Operace s vektory

Sčítání vektorů

Pro dva vektory$\mathbf {A},\mathbf {B}$ze stejného vektorového prostoru je definován jejichsoučet$\mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$.Pro složky vektorů platí $C_{i}=A_{i}+B_{i}$

Pokud jsou dva vektory na sebekolmé,lze velikost výsledného vektoru určitPythagorovou větou.Výsledný vektor je možno reprezentovat graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D. Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Délka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.)

Násobení vektoru číslem

Pro libovolný vektor$\mathbf {A}$a číslo$k$je definován vektor$k\mathbf {A}$se složkami

$k\cdot A_{i}$.

Součin vektorů

Součinvektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou

• skalární součin
• vektorový součin
• smíšený součin
• tenzorový součin

Vlastnosti vektorových operací

Mějme vektory$\mathbf {A},\mathbf {B},\mathbf {C}$askaláry$a,b$.Pak platíkomutativní zákonpro sčítání vektorů

$\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$

Pro sčítání dvou vektorů platíasociativní zákon,tzn.

$\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C}$

Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy

$a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A}$

Dále platídistributivní zákony

$(a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A}$

$a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B}$

Existujenulový vektor$\mathbf {0}$splňující následující vztahy

$\mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A}$

$\mathbf {0} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

$a\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Ke každému vektoru$\mathbf {A}$existujeopačný vektor$-\mathbf {A}$,pro nějž platí

$\mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {0}$

$-(a\mathbf {A} )=(-a)\mathbf {A} =a(-\mathbf {A} )$

Pokud$\mathbf {B} =\mathbf {A} +\mathbf {C}$,pak

$\mathbf {C} =\mathbf {B} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {B} -\mathbf {A}$

Zalineární kombinacidvou vektorů$\mathbf {A},\mathbf {B}$je považován vektor$\mathbf {C} =a\mathbf {A} +b\mathbf {B}$,kdea,bjsou libovolnáčísla,jehož složky jsou

$C_{i}=aA_{i}+bB_{i}$

Dvalineárně závislévektory označujeme jakokolineární(rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné.Vektorový součindvou kolineárních vektorů v$\mathbb {R} ^{3}$je nulový.

Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jakokomplanární.Komplanární vektory leží v jedné rovině.Smíšený součinkomplanárních vektorů v$\mathbb {R} ^{3}$je nulový.

Pro součiny vektorů v$\mathbb {R} ^{3}$platí důležité vztahy, jako je např.Jacobiho identitapro dvojitý vektorový součin, tzn.

$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0$.

Tato rovnost mj. ukazuje, že vektorové násobení neníasociativní.

Dále platí tzv.Lagrangeova identita

$(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )$.

Jejím speciálním případem je vztah

${(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}^{2}={\mathbf {A} }^{2}{\mathbf {B} }^{2}-{(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}^{2}$.

Dalšími užívanými vztahy jsou

$(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {D} )]\mathbf {C} -[\mathbf {A} (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]\mathbf {D}$

$\mathbf {A} \times [\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]=(\mathbf {A} \times \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \times \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )$

Invariance operací

Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, tj.$\mathbf {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {y}$pro nějakou lineární transformaciA,přičemžxayoznačují vektory.

Vektorový součin dvou vektorů z$\mathbb {R} ^{3}$je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamená$\mathbf {A} (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=\mathbf {A} (\mathbf {v} )\times \mathbf {A} (\mathbf {w} )$pro libovolnou rotaciA.Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin aorientace.Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně “, až na znaménko (je topseudovektor).

Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.)

Smíšený součin tří vektorů z$\mathbb {R} ^{3}$je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí$SL(3)$). Znamená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je topseudoskalár).

Úhel dvou vektorů

lze určit ze znalostiskalárního součinuanoremobou nenulových vektorů ($\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}$) pomocí vztahu:

$\cos \varphi ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}$

Další vektorové operace

Operace na vektorech:

• norma vektoru
• divergence
• rotace
• gradientvektorového pole

Zvláštní druhy vektorů

Jednotkový vektor

Jednotkovým vektoremoznačujeme vektores jednotkovou normou, tzn.$|\mathbf {e} |=1$.

Jednotkový vektor ve směru libovolného nenulového vektoru$\mathbf {v}$je určen vztahem

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}$

Nulový vektor

Nulový vektor$\mathbf {0}$je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanoun-tici$(0,0,\cdots,0)$,tzn. všechny složky vektoru jsounulové.

Norma nulového vektoru je rovna nule.

Z hlediska fyzikálního nemá nulový vektor směr ani orientaci.

Tečný vektor

Je vektor vyskytující se navarietách,který má počátek (t.j. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách.

Hermitovsky sdružený vektor

Vektor je obvykle vyjadřován jako sloupec s komponentami

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

Hermitovské sdružení představuje aplikacitranspoziceakomplexního sdružení,čímž získámehermitovsky sdružený vektorse složkami

$(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots,a_{n}^{*})$

Související články

• Vektorový prostor
• Vektorové pole
• Vektorový počet
• Vektorový součin
• Vektorová grafika
• Skalár
• Tenzor
• Čtyřvektor
• Diracova notace
• Souřadnicový zápis vektorů
• Řídký vektor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématuvektornaWikimedia Commons

Autoritní data	GND:4202708-1

Portály:Matematika