Vektor
Vmatematicejevektordefinován abstraktně jako prvekvektorového prostoru.Vektory se dají spolu sčítat a dále násobit prvky komutativního algebraického tělesa, tzv. skaláry, např. reálnými čísly.
V každém vektorovém prostoru lze díkyaxiomu výběrunajít bázi, která určujesouřadnicedaného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud je vektorový prostor konečněrozměrný, souřadnice vektoru tvoříuspořádanén-ticečísel,označovaných jakosložky(téžkomponenty)vektoru.Speciálně, pokud se za vektorový prostor volíkartézský součinmnožinreálnýchčikomplexních čísel,tj. pokud je za vektorový prostor bránočipro nějakápřirozená číslaa,tak se jeho prvky nazývajíaritmetické vektory.
Vektorpředstavuje vevektorovém počtuafyziceveličinu, která má kroměvelikostiisměra orientaci.
Příkladem vektoru jesíla— má velikost a směr, a více sil se skládá dohromady podlezákona o skládání sil–rovnoběžníkovéhopravidla. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí složek (souřadnic), které ovšem závisí na volbě souřadnicových os.
Definice
[editovat|editovat zdroj]Neformálně jevektorveličina charakterizovanávelikostí(v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) asměrem.Často jereprezentovanágraficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod “nebo „Přitahován ke středu Země silou 70newtonů“.
Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá kovariance vůči změně (prostorových) souřadnic ( "stejná" změna jeho souřadnic, nové se počítají podle stejného pravidla jako souřadnice polohy). Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem,pak složky libovolného vektoruse podobně transformují podle vztahu
- ,
kdejsou složky vektoruv původní soustavě souřadnic ajsou složky vektoruv nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako,kdeje transformačnímaticese složkami.Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), neboLorentzovým transformacím(vspeciální relativitě).
Pokud není vektor vázán k žádnému pevnémuboduprostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme ovolném vektoru.Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme ovázaném vektoru.
Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří ovektorovém poli.
V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakéhovektorového prostoru.Tyto prostory mohou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že ifunkceje vektor, anebostav fyzikálního systémuje vektor (v kvantové mechanice).
Pravý a axiální vektor
[editovat|editovat zdroj]Jakopravý vektoroznačujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původníotočenánebozrcadlená,vyjde nám „stejný “vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí
kdeoznačuje souřadnicovou soustavu, která má opačnouorientacijako.
Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jakoaxiální vektor(nepravý vektornebopseudovektor). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí
Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhévnější mocninyprostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek(n-1)-ní vnější mocninyn-rozměrného vektorového prostoruV.Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace naVpak lze takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkemV) pomocíHodgeovy duality.Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace.
Příkladem pravého vektoru jepolohový vektornebo vektorrychlosti,axiálním vektorem je např. vektorúhlové rychlosti.Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocívektorového součinu(je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením).
Reprezentace vektoru
[editovat|editovat zdroj]Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jakoa;to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patříneboa,zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít iã.
Vektory se obvykle v grafech nebo jinýchdiagramechoznačují jako orientované úsečky:
![Grafická reprezentace vektoru.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/VectorAB.svg/169px-VectorAB.svg.png)
Zde bodAse nazývápočáteční,bodBkoncový bod.Délka šipky představuje velikost vektoru, šipka určuje jeho (orientovaný) směr.
Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svýchsložek,např.pro vektor.
V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místose použijenebo pouze.
Kvantová fyzikapoužívá pro zápis vektoru tzv.Diracovu symboliku.
Vdiferenciální geometriise vektor v danésouřadné soustavěčasto vyjadřuje pomocí operátorůparciálních derivací,tedy např. jako
S výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace – pomocířetízkového pravidla.
Operace s vektory
[editovat|editovat zdroj]Sčítání vektorů
[editovat|editovat zdroj]Pro dva vektoryze stejného vektorového prostoru je definován jejichsoučet.Pro složky vektorů platí
Pokud jsou dva vektory na sebekolmé,lze velikost výsledného vektoru určitPythagorovou větou.Výsledný vektor je možno reprezentovat graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D. Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Délka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.)
Násobení vektoru číslem
[editovat|editovat zdroj]Pro libovolný vektora čísloje definován vektorse složkami
- .
Součin vektorů
[editovat|editovat zdroj]Součinvektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou
Vlastnosti vektorových operací
[editovat|editovat zdroj]Mějme vektoryaskaláry.Pak platíkomutativní zákonpro sčítání vektorů
Pro sčítání dvou vektorů platíasociativní zákon,tzn.
Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy
Dále platídistributivní zákony
Existujenulový vektorsplňující následující vztahy
Ke každému vektoruexistujeopačný vektor,pro nějž platí
Pokud,pak
Zalineární kombinacidvou vektorůje považován vektor,kdea,bjsou libovolnáčísla,jehož složky jsou
Dvalineárně závislévektory označujeme jakokolineární(rovnoběžné). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné.Vektorový součindvou kolineárních vektorů vje nulový.
Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jakokomplanární.Komplanární vektory leží v jedné rovině.Smíšený součinkomplanárních vektorů vje nulový.
Pro součiny vektorů vplatí důležité vztahy, jako je např.Jacobiho identitapro dvojitý vektorový součin, tzn.
- .
- Tato rovnost mj. ukazuje, že vektorové násobení neníasociativní.
Dále platí tzv.Lagrangeova identita
- .
Jejím speciálním případem je vztah
- .
Dalšími užívanými vztahy jsou
Invariance operací
[editovat|editovat zdroj]Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, tj.pro nějakou lineární transformaciA,přičemžxayoznačují vektory.
Vektorový součin dvou vektorů zje invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamenápro libovolnou rotaciA.Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin aorientace.Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně “, až na znaménko (je topseudovektor).
Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.)
Smíšený součin tří vektorů zje invariantní vůči všem lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí). Znamená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je topseudoskalár).
Úhel dvou vektorů
[editovat|editovat zdroj]lze určit ze znalostiskalárního součinuanoremobou nenulových vektorů () pomocí vztahu:
Další vektorové operace
[editovat|editovat zdroj]Operace na vektorech:
Zvláštní druhy vektorů
[editovat|editovat zdroj]Jednotkový vektor
[editovat|editovat zdroj]Jednotkovým vektoremoznačujeme vektores jednotkovou normou, tzn..
Jednotkový vektor ve směru libovolného nenulového vektoruje určen vztahem
Nulový vektor
[editovat|editovat zdroj]Nulový vektorje zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanoun-tici,tzn. všechny složky vektoru jsounulové.
Norma nulového vektoru je rovna nule.
Z hlediska fyzikálního nemá nulový vektor směr ani orientaci.
Tečný vektor
[editovat|editovat zdroj]Je vektor vyskytující se navarietách,který má počátek (t.j. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách.
Hermitovsky sdružený vektor
[editovat|editovat zdroj]Vektor je obvykle vyjadřován jako sloupec s komponentami
Hermitovské sdružení představuje aplikacitranspoziceakomplexního sdružení,čímž získámehermitovsky sdružený vektorse složkami
Související články
[editovat|editovat zdroj]- Vektorový prostor
- Vektorové pole
- Vektorový počet
- Vektorový součin
- Vektorová grafika
- Skalár
- Tenzor
- Čtyřvektor
- Diracova notace
- Souřadnicový zápis vektorů
- Řídký vektor
Externí odkazy
[editovat|editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématuvektornaWikimedia Commons