Diskriminant

Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro $D\geq 0$ jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro $D=0$ má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro $D<0$ jsou oba kořeny imaginární.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici $ax^{2}+bx+c=0,$ (kde $a\neq 0$ ) je diskriminant $D=b^{2}-4ac$ .

U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

Pokud $D>0$ , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ .
Pokud $D=0$ , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ .
Pokud $D<0$ , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}$ .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: $ax^{2}+c=0$ (kde $a,c\neq 0$ ), je $D_{r}=-4ac$ :

Pokud $D>0$ (liší se znaménko $a$ a $c$ ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$ .
Pokud $D<0$ (shoduje se znaménko $a$ a $c$ ), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: $x_{1,2}=\pm i{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$ .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru

x^{2}+px+q=0

je $D_{n}=p^{2}-4q$ .

U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně

Pro kořeny $x_{1},x_{2}$ polynomu druhého stupně platí:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ ; $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ .

Vyjádření: $b=-(x_{1}+x_{2})a;$ ${\textstyle c=x_{1}x_{2}a}$ ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: $D=b^{2}-4ac=(x_{1}+x_{2})^{2}a^{2}-4a^{2}x_{1}x_{2}=a^{2}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.$

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny $x_{1},x_{2}$ je dán vztahem: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.}$

Dva různé reálné kořeny $x_{1},x_{2}$ pro: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}>0}$
Jeden dvojnásobný reálný kořen $x_{1}=x_{2}$ pro: ${\textstyle D=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}=0}$
Dva komplexně sdružené imaginární kořeny $x_{1}=m+ni,x_{2}=m-ni$ pro: $D=a^{2}(m+ni-m+ni)^{2}=-4a^{2}n^{2}<0.$

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$ (kde $a\neq 0$ ) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů $x_{1},x_{2},x_{3}$ vztahem

D_{3}=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}.

Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.

S reálnými koeficienty platí:

Tři různé reálné kořeny pro ${\textstyle D>0.}$

Násobný kořen ze tří reálných pro ${\textstyle D=0.}$

Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro $D<0.$

U rovnice v redukovaném tvaru

x^{3}+px+q=0

se počítá diskriminant jednodušeji jako

D=-[({\frac {p}{3}})^{3}+({\frac {q}{2}})^{2}],

což je $D_{3}/108.$

Diskriminant polynomu n−tého stupně

Diskriminantem polynomu $n$ −tého stupně s kořeny $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ rozumíme výraz $D_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}=$

=a_{n}^{2n-2}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}\dotsm (x_{2}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{3}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{n-1}-x_{n})^{2}

Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.

U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.

Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.

Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem:

D_{n}=a_{n}^{2n-2}[\det {\boldsymbol {V}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})]^{2}

.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.

Související články

Externí odkazy

Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Řešené příklady
Kubická rovnice