Diskriminant
Diskriminant(latinskydiscriminare- rozlišit) je hodnota získaná z koeficientůpolynomu,která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešeníalgebraickýchrovnic,předevšímkvadratických,a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumáníkvadratických polynomů.
Např. v případěkvadratických rovnics reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí jejíkořenya o jejich násobnosti. Projsou kořeny z množinyreálných čisel,která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě promá rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Projsou oba kořeny imaginární.
Diskriminant lze také obecněji definovat prokvadratické formy.
Diskriminant kvadratických rovnic
[editovat|editovat zdroj]Prokvadratickou rovnici(kde) je diskriminant.
U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:
- Pokud,pak má daná rovnice právě dva různéreálnékořeny.
- Pokud,pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobnýreálnýkořen.
- Pokud,pak má daná rovnice právě dva různéimaginárnísdruženékořeny.
Diskriminantryze kvadratické rovnice,dané předpisem:(kde), je:
- Pokud(liší se znaménkoa), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny:.
- Pokud(shoduje se znaménkoa), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny:.
Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru
je.
U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.
Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně
[editovat|editovat zdroj]Pro kořenypolynomu druhého stupně platí:
;.
Vyjádření:;
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořenyje dán vztahem:
- Dva různé reálné kořenypro:
- Jeden dvojnásobný reálný kořenpro:
- Dva komplexně sdružené imaginární kořenypro:
Diskriminant kubických rovnic
[editovat|editovat zdroj]Ukubické rovnice(kde) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenůvztahem
Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocíViètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako
S reálnými koeficienty platí:
- Tři různé reálné kořeny pro
- Násobný kořen ze tří reálných pro
- Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro
U rovnice v redukovaném tvaru
se počítá diskriminant jednodušeji jako
což je
Diskriminant polynomu n−tého stupně
[editovat|editovat zdroj]Diskriminantem polynomu−tého stupně s kořenyrozumíme výraz
Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.
U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.
Diskriminant polynomu stupně n jesymetrický polynomstupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.
Diskriminant úzce souvisí sVandermondovým determinantem:
- .
Reference
[editovat|editovat zdroj]V tomto článku byl použitpřekladtextu z článkuDiskriminantena německé Wikipedii.
Související články
[editovat|editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat|editovat zdroj]- Diskriminantv encyklopediiMathWorld(anglicky)
- Řešenépříklady
- Kubická rovnice