Integrál

Integrálje jeden ze základních pojmůmatematiky.Spolu sderivacítvoří dvě hlavníoperace matematické analýzy,integrace jeinverzníoperace derivace. Pojmem integrál rozumíme určitý nebo neurčitý integrál. Jedná se o dvě odlišné koncepce, které spolu úzce souvisí. SlovointegrálzavedlJohann Bernoulli.Znak integrálu ∫ pochází z latinského slovaſumma(součet) psaného sdlouhým s.Toto značení vytvořilGottfried Leibniz.Vgeometriise používají tzv.křivkovéresp.plošnéintegrály umožňující určit délku křivky či obsah plochy křivkou uzavřené resp. povrch či objem (Gaussova věta) trojrozměrných útvarů. Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na soběIsaacem NewtonemaGottfriedem Leibnizemna konci 17. století, kteří nezávisle formulovalizákladní větu analýzy,díky níž spojilidiferenciálníaintegrální počet.

Neurčitý integrál[editovat|editovat zdroj]

Neurčitý integrál funkce je množina jejíchprimitivních funkcí,lišících se v hodnotě přičítané konstanty. Používá se zejména k výpočtu určitého integrálu s využitímzákladní věty integrálního počtua při řešenídiferenciálních rovnic.Neurčitý integrál je opak derivace a proto umožňuje z rychlosti měnící se veličiny určit časový průběh této veličiny. Ke každé funkci $f$ spojiténaintervalu $(a,b)$ existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Neurčitý integrál zapisujeme:

$F(x)=\int f(x)\,\mathrm {d} x\,+\,C$

kde $C$ je libovolná konstanta a $\mathrm {d} x$ označujeinfinitezimální hodnotuproměnné, podle které se integruje. Pokud by funkce $F$ byla posunutá o konstantu $C$ nahoru nebo dolů, její derivace bude pořád stejná. Výpočet neurčitého integrálu funkce $f$ je úloha hledání její primitivní funkce $F$ ,jejíž derivace je integrovaná funkce:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int f(x)\,\mathrm {d} x\,+\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,C=f(x)$

Při hledání primitivní funkce se používají různé integrační techniky, napříkladintegrace per partes,substituční metoda,rozklad na parciální zlomky.

Určitý integrál[editovat|editovat zdroj]

Určitý integrál lze chápat geometricky jako obsah plochy pod křivkou danougrafemnezáporné funkce na daném intervalu. Určitý integrál spojité funkce $f$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ zapisujeme užitímzákladní věty integrálního počtu:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

kde $a$ a $b$ jsou integrační meze, tj. výsledkem výpočtu určitého integrálu je číslo, na rozdíl od neurčitého integrálu, kde výsledkem výpočtu je funkce. Existují různé definice určitého integrálu podle formulace integrálních součtů, tj. existují různé určité integrály, např.:

Newtonův integrál,definovaný pomocí neurčitého integrálu,
Riemannův integrál,definovaný pomocí geometrické interpretace plochy pod křivkou,
Lebesgueův integrál,definovaný pomocíteorie míry.

Jednotlivé integrály se liší množinou funkcí, které jsou ve smyslu jednotlivých definic integrovatelné. Pokud však je funkce integrovatelná ve smyslu více definic, pak je hodnota integrálu stejná, definice jsou pak na daných definičních oborech ekvivalentní^[1],v praxi a v základních kurzech matematiky se zpravidla pod pojmem určitý integrál rozumí Newtonův nebo Riemannův integrál.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem[editovat|editovat zdroj]

Určitý integrál zpravidla počítáme pomocízákladní věty integrálního počtujako změnu primitivní funkce na uvažovaném intervalu. V tomto smyslu je možno určitý integrál vyjadřovat pomocí neurčitého integrálu.
Vztahem $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\ \mathrm {d} t$ je možno definovat primitivní funkci k funkci $f$ pomocíRiemannova integrálu.Toto se využívá v případech, kdy primitivní funkce neníelementární funkcí,napříkladintegrálsinus.V takovém případě bývá obvyklé použít k výpočtu integrálunumerickou integraci.

Zobecnění určitého integrálu[editovat|editovat zdroj]

Nevlastní integrál[editovat|editovat zdroj]

Určitý integrál, ve kterém je buď neohraničený interval (alespoň jedna z integračních mezí v nekonečnu) nebo neohraničená funkce (nespojitá nebo jdoucí v daném intervalu do nekonečna).

Křivkový integrál[editovat|editovat zdroj]

Křivkový integrál je integrálskalárníhonebovektorovéhopole počítaný podélkřivky.

Plošný integrál[editovat|editovat zdroj]

Plošný integrál je integrálskalárníhonebovektorovéhopole počítaný podélkřivkyohraničující nějakouplochu.

Vícerozměrný integrál[editovat|editovat zdroj]

Integraci funkce více proměnných probíhá vždy na určité oblasti $\displaystyle \Omega$ .Je-li $\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ funkcí $\displaystyle n$ nezávisle proměnných, pak její integrál na určité $\displaystyle n$ -rozměrné oblasti $\displaystyle \Omega$ označujeme jako $n$ -rozměrný integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů:

{\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega ={\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\,\mathrm {d} ^{n}x

.

Počet integračních znaků $\int$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak:

\int _{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega \,

.

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocíFubiniovy věty.Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.