Matematika

Matematika(zřeckéhoμαθηματικός(mathématikos) =milující poznání;μάθημα(mathéma) =věda, vědění, poznání) jevědazabývající se z formálního hlediskakvantitou,strukturou,prostorema změnou. Matematika je též popisována jako disciplína, jež se zabývá vytvářenímabstraktních entita vyhledáváním zákonitých vztahů mezi nimi.

Matematika je založena a budována jakoexaktnívěda. Její exaktnost (podobně jako jiných exaktních věd) tkví v tom že, jak matematické objekty, tak i operace nad nimi jsou exaktně vytyčeny (tj. s nulovou vnitřnívágností)^[1],tedy tak, že každý v matematice (v dané exaktní vědě) vzdělaný člověk naprosto přesně (bez jakýchkoli pochyb) ví, co znamenají. To je podstata exaktnosti této disciplíny. V rámci matematiky existuje ale ještě jinak chápaná exaktnost, a to exaktnost použitých metod a jejich výsledků:

Příkladem může být exaktní a neexaktní řešení: Některé aplikace jsou řešitelné pouze opuštěním přísného a omezujícího požadavku exaktnosti výsledku. Například proto, že neexistuje matematická funkce, která by byla (exaktním) řešením dané diferenciální rovnice. Může ale existovat posloupnost funkcí, která s libovolnou přesností (nikoli však exaktně), řešením té rovnice je. Dosazením exaktního výsledku (řešení) do výchozího vztahu (rovnice) dostáváme identitu. Neexaktní výsledek se od exaktního liší o „chybu “, takže po jeho dosazení identitu nedostaneme.

Charakteristickou vlastností matematiky je její důraz na absolutní přesnostmetoda nezpochybnitelnost výsledků. Tyto vlastnosti, které matematiku odlišují od všech ostatních vědních disciplín, mají původ již vantickém Řecku.Nejstarším dochovaným příkladem tohoto přístupu je kniha řeckéhomatematika EuklidaZákladypocházející z4. století př. n. l.

Široké veřejnosti je známa tzv.elementární matematika,která se zabývá operováním sčísly,řešením praktických úloh, jednoduchýchrovnica popisem základníchgeometrickýchobjektů. Vefyzice,informatice,chemii,ekonomiia dalších oborech se často využívají výsledkyaplikované matematiky,která je také těmito obory zpětně ovlivňována. Tzv.čistá matematikase zabývá pouze vysoce abstraktními pojmy, jejichž definování není přímo motivováno praktickým užitkem v reálném světě. Některé obory čisté matematiky se nacházejí na pomezí slogikoučifilozofií.

Charakteristika metod a cílů matematiky

Mezi jinými vědami se matematika vyznačuje nejvyšší mírouabstrakcea přesnosti. Díky těmto vlastnostem je často označována zakrálovnu věd^[2].Tzv.matematický důkazje nejspolehlivější známý způsob, jak ověřovat pravdivost tvrzení. V matematice jsou za spolehlivá považována pouze tatvrzení(nazývanévěty), ke kterým je znám matematický důkaz. Nové pojmy jsou vytvářeny jednoznačnýmidefinicemiz pojmů již zavedených.

Pro současnou matematiku je typická vysoká přesnost, zajišťovanáúplnou formalizací.Je-li stanoveno několik základních tvrzení (tzv.axiomy), je z nich možné s použitím odvozovacích pravidel založených na logice odvodit další pravdivá tvrzení pomocíformálních důkazů.Výklad matematických poznatků tak spočívá v definování nových pojmů, formulování platných vět o nich (případně takových vět, které je dávají do souvislosti s pojmy staršími) a dokazování pravdivosti těchto vět. Matematické práce mají proto často strukturu „definice – věta – důkaz “s minimem doplňujícího textu či zcela bez něj. Stejně jako v jiných vědních disciplínách se také může objevit formulace neověřenéhypotézy- předpokladu (jako výzva k jejímu dokázání či vyvrácení) nebo položení dosud nezodpovězené otázky.

Některé z matematikou vytvářených abstraktníchpojmůslouží k vysvětlení či snadnějšímu uchopení pojmů dalších, jiné slouží v jiných vědních oborech jako nástroj k popisu určitýchjevůnebo jako idealizovanýmodelreálných objektů či systémů, další pak umožňují precizaci a rozvoj konceptů a myšlenek některých disciplínfilozofie.Zákonitosti objevené mezi těmito pojmy lze při vhodné aplikaci zpětně přeformulovat jako pravidla a vlastnosti skutečného světa nebo jako obecně platnéteze.To však již není úkolem matematiky, nýbrž příslušné jiné disciplíny.

Jazyk matematiky je umělý formální jazyk

Je třeba připomenout, že jazyk matematiky je umělýformální jazyk,pro který platí kategorický požadavek exaktní (tj. s nulovou vnitřní vágností)interpretacevšech jeho jazykových konstrukcí. Umělými formálními jazyky jsou i jazyky všech typů formálních logik a programovací jazyky. Nelze tedy např. v jakékoli formální logice použít přirozený jazyk, neboť ten má inherentně vágní, a tak i emocionální interpretaci (říkáme jíkonotace) všech svých jazykových konstrukcí.^[3].S tímto omylem se můžeme setkat v některých učebnicích formální logiky nebo umělé inteligence vizreprezentace znalostí.Je to překročení hranic exaktního světa porušením podmínky exaktní interpretace. Pro hlubší pochopení problému: Přirozený jazyk nemůže být součástí exaktního světa, nemá exaktní interpretaci svých jazykových konstrukcí. Například pokud nějaký objekt exaktního světa, třeba veličinu „Rychlost pohybu tělesa “, místo (obvyklého) symbolu V (jednočlenného řetězce symbolů), označíme konstrukcí přirozeného jazyka (větou): Marjánka se na něj usmívala, nelze tuto větu chápat jako větu přirozeného jazyka (a přiřazovat jí obvyklý význam), ale nutně jen jako řetězec symbolů dostávající v exaktním světě nový význam, a to jméno té veličiny. Ona věta dostává tedy stejný význam, jako měl původně symbol V. Přiřazení významu té větě je pak exaktní, jak odpovídá statutu veličiny jako elementu exaktního světa. Ještě poznamenejme, že pokud umělé formální jazyky mají vypovídat o znalostech v reálném světě, musí se tak dít prostřednictvím veličin vizExaktní věda,jinak nelze.Veličinaje jediným prostředníkem mezi reálným a exaktním světem.

Historie

Vznik matematiky byl zapříčiněn především potřebou řešit praktické úlohy, jako například různéobchodníúlohy, vyměřování a dělení pozemků,stavebnictvía měřeníčasu.Historie matematikysahá až dopravěku,kdy vznikly první abstraktní matematické pojmy –přirozená čísla.Velký rozvoj prodělala vantickém Řecku,kde výrazných úspěchů dosáhla zejménageometrie.Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základymatematické analýzy.Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů diferenciálního a integrálního počtu.

Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom19.a20. století,kdy zkoumání dokazatelnosti tvrzení bylo postaveno na solidní a formální základ, objevy vmatematické logicea zavedenímaxiomatické teorie množin.Touto dobou začaly být též zkoumányabstraktní struktury,což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení proširokou skupinumatematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznikteorie kategorií,která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu.

Matematické disciplíny

Hlavní klasické disciplíny matematiky se vyvinuly ze čtyř praktických lidských potřeb – potřeby počítat přiobchodování,porozumět vztahům mezi číselně vyjádřenými množstvími, vyměřování pozemků a staveb a předpovídáníastronomickýchjevů. Z těchto čtyř potřeb vznikly čtyři klasické matematické disciplíny – po řaděaritmetika,algebra,geometrieamatematická analýza,které se zabývají zhruba řečeno čtyřmi základními oblastmi zájmu matematiky –kvantitou,strukturou,prostorema změnou. Později se díky snahám zastřešit tyto čtyři disciplíny jednotnou matematickou teorií a dosáhnout co největší přesnosti a nezpochybnitelnosti výsledků rozvinulo několik vzájemně provázaných disciplín nazývaných souhrnnězáklady matematiky.Tyto disciplíny kromě výše zmíněného umožnily také hlubší propojení matematiky sfilozofiíči rozvojteoretické informatiky.Ve20. stoletízaznamenaly ohromný rozvoj disciplínyaplikované matematiky,které slouží jako důležité nástroje v nejrůznější oborech lidské činnosti.

Kvantita

Studium kvantity je vůbec nejstarší oblastí matematiky. Jeho počátky se objevují již vpravěku,kdy dochází k porozumění pojmupřirozeného čísla.Postupem času následuje vytváření základních aritmetickýchoperacía rozšiřování číselného oboru přes číslacelá,racionální,reálnáakomplexníaž k různým specializovaným číselným oborům jako jsouhyperkomplexní čísla,kvaterniony,oktoniony,ordinálníakardinální číslanebosurreálná čísla.

I vteorii přirozených číselzůstává dosud mnoho snadno formulovatelných otevřenýchproblémů,např.hypotéza prvočíselných dvojicneboGoldbachova hypotéza.Zřejmě nejslavnější problém celé matematiky,velká Fermatova věta,byl vyřešen v roce1995po 350 letech marných pokusů.

$1;2;3\,\!$	$-2;-1;0;1;2\,\!$	$-2;{\frac {2}{3}};1{,}21\,\!$	$-e;{\sqrt {2}};3;\pi \,\!$	$2;i;-2+3i;2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Přirozená čísla	Celá čísla	Racionální čísla	Reálná čísla	Komplexní čísla

Struktura

Mnoho matematických objektů jakomnožinyčísel čifunkcívykazují jistou vnitřní strukturu. Abstrahováním některých z těchto strukturálních vlastností vznikly pojmygrupa(skupina),okruh,tělesoa další. Studiem těchto abstraktních konceptů se zabýváalgebra.Její důležitou součástí jelineární algebra,která se zabývá studiemvektorových prostorů,jež v sobě kombinují tři ze čtyř okruhů zájmu matematiky – kvantitu, strukturu a prostor. Diferenciální a integrální počet přidává k těmto třem okruhům i čtvrtý – změnu.


Teorie čísel	Algebra	Teorie grup	Teorie uspořádání

Prostor

Studium prostoru začíná v matematice již vestarověku geometrií– konkrétněeuklidovskou.Trigonometriepřibírá do hry fenomén kvantity. Základním tvrzením této kvantitativní geometrie jePythagorova věta.V pozdějších dobách dochází k zobecňování směrem kvícedimenzionálnímprostorům,neeuklidovským geometriímatopologii.Uvažováním v kvantitativních sférách se dostáváme kanalytické,diferenciálníaalgebraické geometrii.Diferenciální geometrie se zabývá studiem hladkýchkřivekaplochv prostoru, algebraická pak geometrickou reprezentací množinkořenů polynomůvíceproměnných.Topologické grupyv sobě kombinují fenomény prostoru a struktury,Lieovy grupypřidávají navíc ještě změnu.


Geometrie	Trigonometrie	Diferenciální geometrie	Topologie	Fraktální geometrie

Změna

Pochopení a popis změny je základní snahoupřírodních věd.Mocným nástrojem k uchopení fenoménu změny je kalkulusmatematické analýzy,který využívá konceptufunkce.Studiem funkcí na oborureálných číselse zabýváreálná analýza,obdobnou disciplínou prokomplexnípřípad jekomplexní analýza.Její součástí je pravděpodobně nejslavnější i nejtěžší nevyřešený problém současné matematiky –Riemannova hypotéza.Funkcionální analýzase zabývá studiem přirozeně vznikajících prostorů funkcí, jednou z mnoha aplikací tohoto oboru jekvantová mechanika.Pomocídiferenciálních rovnicje možné studovat problematiku změn kvantitativních veličin. Vysoce složité přírodní systémy slouží jako inspirace pro studiumdynamických systémůateorie chaosu.


Matematická analýza	Vektorový počet	Diferenciální rovnice	Dynamické systémy	Teorie chaosu

Základy matematiky a filozofie

Ve snaze objasnit a zpřesnit základní kameny matematiky byly na konci19. stoletípoloženy základy disciplínámteorie množinamatematické logiky,jež bývají souhrnně označovány jakozáklady matematiky.Na pomezí základů matematiky a abstraktníalgebryležíteorie kategorií.

Matematická logika poskytuje pevnýaxiomatickýrámec celé matematice a svojí maximální přesností zaštiťuje nezpochybnitelnost všech matematických výsledků.Teorie důkazuprecizuje a matematizuje základní principy rozumového odvozování a nutného vyplývání.Teorie modelůstuduje logické koncepty pomocí algebraických metod. Formální studium aritmetických teorií jako jsouRobinsonovačiPeanova aritmetikamá velký význam i profilozofickéotázky týkající se hranicdeduktivnímetody. Odpovědí na většinu těchto otázek je nejslavnější výsledek celélogiky–Gödelovy věty o neúplnosti.Teorie rekurzemá velký význam pro teoretické základyinformatiky.

Teorie množin je často označována jako „svět matematiky “. Každá jiná matematická disciplína může být považována za součást teorie množin. Kromě toho má teorie množin vlastní obor studia zaměřený z větší části na pochopení a popis fenoménunekonečnav jeho aktuální podobě. Slavným problémem teorie množin bylahypotéza kontinua,filozofické dopady má otázkaaxiomu výběru.

$P\Rightarrow Q\,$
Matematická logika	Teorie množin	Teorie kategorií

Diskrétní matematika

Jakodiskrétní matematikase označují oblasti matematiky, které se zabývají studiem konečných diskrétních systémů. Její podobory mají obvykle velký praktický význam vinformaticeaprogramování.Patří sem disciplíny jakoteorie složitosti,teorie informacenebo studium teoretických modelůpočítačů,jakým jeTuringův stroj.Teorie výpočetní složitosti se zabývá časovou náročnostíalgoritmůzpracovávaných v počítačích, teorie informace možnostmi efektivního skladování informací na záznamových médiích – studuje pojmykomprese dat,entropieapod. Nejslavnějším problémem těchto disciplín je „problém P = NP“.Dalšími součástmi diskrétní matematiky jsoukombinatorika,teorie grafůnebokryptografie.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Kombinatorika	Teorie výpočtů	Kryptografie	Teorie grafů

Aplikovaná matematika

Aplikovaná matematikapoužívá abstraktní matematické nástroje k řešení praktických problémů z jiných oblastí vědy,obchoduapod.Statistikapoužíváteorii pravděpodobnostik popisu, analýze a předpovídání jevů, v nichž hraje důležitou rolináhoda.Numerická matematikavytváří a teoreticky zaštiťuje počítačové výpočetní metody pro řešení širokého spektra úloh příliš náročných pro člověka. Využívá jipočítačové modelovánís mnoha aplikacemi při popisu a předpovědifyzikálních,meteorologických,sociologických,chemickýcha jiných jevů. Ve světě obchodu abankovnictvíhraje důležitou rolifinanční matematika.K popisuekonomickýchfenoménů slouží často jazyk a výsledkyteorie her.


Matematická fyzika	Matematické modelování tekutin	Numerická matematika	Optimalizace	Teorie pravděpodobnosti	Statistika	Finanční matematika	Teorie her

Odkazy

Reference

↑Křemen, J.:Modely a systémyACADEMIA, Praha 2007.
↑DANÍČKOVÁ, Sylva; HOUDEK, František.O povaze královny věd aneb Matematika[online]. Akademický bulletinAkademie věd ČR,květen 2004 [cit. 2013-05-21].Dostupné online.
↑Křemen, J.:Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování. Slaboproudý obzor. Roč. 68 (2013), č. 1., str. 7 – 11.

Literatura

PAVLÍKOVÁ PAVLA, SCHMIDT OSKAR.Základy matematiky, 1. vydání[online]. VŠCHT v Praze, 2006.Dostupné online.ISBN 80-7080-615-X.
MENŠÍK, Miroslav.Matematika a geometrie pro technickou praxi.Praha: Ústav pro učebné pomůcky průmyslových a odborných škol, 1945. 329 s.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématumatematikanaWikimedia Commons
Encyklopedické hesloMathematikavOttově slovníku naučnémve Wikizdrojích
TémaMatematikave Wikicitátech
Slovníkové heslomatematikave Wikislovníku
KnihaKategorie:Matematikave Wikiknihách

Wolfram MathWorld– matematická encyklopedie (anglicky)
Isibalo– matematický vzdělávací videoportál
Matematika na Khan Academy

[1] Křemen, J.:Modely a systémyACADEMIA, Praha 2007.

[2] DANÍČKOVÁ, Sylva; HOUDEK, František.O povaze královny věd aneb Matematika[online]. Akademický bulletinAkademie věd ČR,květen 2004 [cit. 2013-05-21].Dostupné online.

[3] Křemen, J.:Nový pohled na možnosti automatizovaného (počítačového) odvozování. Slaboproudý obzor. Roč. 68 (2013), č. 1., str. 7 – 11.

[1]

[2]

[3]