Poissonova závorka

Poissonova závorkaoznačuje matematický výraz používaný vmatematiceaklasické mechanice(konkrétně vHamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývojedynamického systému.V matematice se Poissonova závorka používá k definiciPoissonovy algebry(příkladem Poissonovy algebry jePoissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována poSiméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme vefázovém prostoruskanonickými souřadnicemi$(q_{i},p_{j})$dvěfunkce$f(p_{i},q_{i},t)\,$a$g(p_{i},q_{i},t)\,$.Poissonova závorka má pak tvar

$\{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].$

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky$\{f,g\}$jeinvariantnívůčikanonickým transformacím,tzn.

$\{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

Poissonova závorka je tedyantikomutativní.Speciálním případem tohoto vztahu je

$\{f,f\}=0$

Dále platí

$\{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}$

$\{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}$

Platí také tzv.Jacobiho identita

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

PročasovouderivaciPoissonovy závorky platí

${\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}$

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitímHamiltonových kanonických rovniclze prototálníčasovou derivaci funkcefpsát

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}$,

Kde$H$jeHamiltonova funkce.Funkce$f$je tedyintegrálempohybových rovnictehdy, pokud platí

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=0$

V případě, že$f$nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

$\{f,H\}=0$

Zvolíme-li za funkci$f$Hamiltonovu funkci$H$,pak podle bude platit

${\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}$

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkcef,gintegrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka$\{f,g\}$.

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž rolifaghrajísouřadniceahybnosti.Někdy se také hovoří ofundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

$\{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}$

$\{Q_{i},Q_{j}\}=0$

$\{P_{i},P_{j}\}=0$

kde$\delta _{ij}$jeKroneckerovo delta.

Související články

• Lagrangeova závorka
• Diracova notace
• Komutátor