Polynom(téžmnohočlen) je výraz ve tvaru
- ,
kde.Číslase nazývajíkoeficienty polynomu.
Stupněm polynomup(x)rozumíme nejvyšší exponent proměnnéxs nenulovým koeficientem, značíme jejst. p(x)nebodeg p(x).Stupeň kvadratického polynomu (např.p(x) = x2– 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např.p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definujedeg p(x) =.
- je polynom 1. stupně (lineární polynom)
- je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
- je polynom 3. stupně (kubický polynom)
Mějme polynom-tého stupně,a polynom-tého stupně.
- Oba polynomy se vzájemněrovnají,tzn.pro všechnapouze tehdy, je-lia pro každéplatí.
- Sečtenímpolynomůazískáme polynom
- ,
kde.Stupeň výsledného polynomu je.(Odpovídající koeficienty polynomůamohou v součtu dávat 0.)
- Součinpolynomůje polynom,který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je.
- Platí tedy, že.
- Je-li kde,pak existují právě dva polynomytakové, že platí
kdemá stupeň menší nežnebo je nulovým polynomem. Pokudje nulový polynom, pak říkáme, že polynomjedělitelnýpolynomem.
Polynomlze zapsat ve tvaru
Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomuv boděpostupem, který bývá označován jakoHornerovo schéma.Zapíšeme-li
- ,
- ,
- ,
- …
- ,
pak poslední číslopředstavuje právě hodnotu polynomuv bodě.
- Mějme polynomy,
- Pokusme se zjistit, zda je polynomdělitelný polynomem.
Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomučlenem s nejvyšší mocninou polynomu,tzn..První člen polynomutedy bude.Tímto členem vynásobíme polynom(dostaneme tedy) a výsledek odečteme od polynomu,čímž získáme nový polynom.
Nejvyšší člen polynomuopět dělíme nejvyšším členem polynomu,tzn.,tzn. další člen polynomuje.Tímto členem opět násobíme polynom,tzn. získáme,a výsledek odečteme od polynomu.Získáme nový polynom.
Stupeň polynomuje však nižší než stupeň polynomu,proto již nelze pokračovat v dělení. Polynomtedy odpovídá polynomu.
Výsledek tedy je
- ,
tzn.a.
Vzhledem k tomu, že,není polynomdělitelný polynomem.
Číslose nazývákořen polynomu,jestliže platí
Této skutečnosti, společně sezákladní větou algebry,se využívá při řešeníalgebraických rovnic.
- Je-likořenem polynomustupně,pak
- ,
kdeje polynom stupně.
- Z předchozího plyne, že pokud je známo pouzekořenů polynomu-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynomna součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomustupně,tzn.
- ,
kdepředstavují známé kořeny polynomu.Pro nalezení zbývajících kořenů polynomustačí hledat pouze kořeny polynomu,tzn. řešit rovnici,neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu.Polynomzískáme z polynomujeho vydělením výrazem.
- Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynomstupnělze zapsat ve tvaru
- ,
kdejsou kořeny polynomu.Členyoznačujeme jakokořenové činitele.Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).
- Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
- ,
kde,přičemžjsoupřirozená čísla.Číslaurčujínásobnost kořene,tzn. kolikrát se kořenvyskytuje v řešení polynomu.
- Pokud má polynom stupněsreálnýmikoeficienty-násobný kořen,má také-násobný kořen.To má za následek, že každý takový polynom jedělitelnýpolynomem.
- Podle předchozího tvrzení lze každý polynomstupněs reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla,reálných kořenových činitelůa reálných trojčlenů,splňujících podmínku,tzn.
- ,
kdejsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka.
Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.
- ,
kdeurčuje počet reálných kořenů polynomu aje polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.
- Z předchozího zápisu plyne, že každý polynomlichéhostupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
- Pokud jsoukořeny polynomu,potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
- …
- Derivací polynomurozumíme polynom tvaru.Derivaci značíme'
(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)
- n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce
'
'
Číslojek-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu(a není kořenem derivace řádu).
Funkcidvouproměnnýchoznačíme jako polynom, pokud existujípřirozená číslaakonstantytakové, že platí
- .