Trichotomická relace

Trichotomická relaceje pojem zteorie množin,používaný především vteorii uspořádání.

Definice

Relace$R\,\!$na množině$X\,\!$jetrichotomická,pokud platí:
$(\forall a,b\in X)([a,b]\in R\vee [b,a]\in R\vee a=b)\,\!$

Řečeno lidsky: trichotomická relace je ten typ relace, kdy každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případěuspořádáníbychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší “$<\,\!$i „je menší nebo rovno “$\leq \,\!$jsou trichotomické na množiněpřirozených čísel,racionálních číselireálných čísel.

Relace „jepodmnožinou“$\subseteq \,\!$není trichotomická napotenční množiněžádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou$a,b\in X,a\neq b\,\!$potom$\{a\},\{b\}\in \mathbb {P} (X)\,\!$,
ale neplatí ani$\{a\}\subseteq \{b\}\,\!$,ani$\{b\}\subseteq \{a\}\,\!$,ani$\{a\}=\{b\}\,\!$.

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definiciúplné relace,ale je o něco obecnější - zatímco pouzeneostré uspořádánímůže být úplné, trichotomické může být iostré uspořádáníineostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definicilineárního uspořádání,která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články

• Uspořádání
• Lineární uspořádání
• Binární relace
• Úplná relace
• Ireflexivní relace

Portály:Matematika